Системы уравнений
Задание 1827
Решите систему уравнений: $$ \left\{ \begin{aligned} 5x^2 + y^2 = 36 \\ 10x^2 + 2y^2 = 36x \end{aligned} \right. $$
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Разделим второе уравнение на $$2$$: $$5x^2 + y^2 = 18x.$$ Теперь из первого уравнения $$5x^2 + y^2 = 36,$$ а из превращённого второго $$5x^2 + y^2 = 18x.$$ Приравниваем правые части: $$36 = 18x \;\Rightarrow\; x = 2.$$
2) Подставим $$x = 2$$ в первое уравнение: $$5\cdot 2^2 + y^2 = 36 \;\Rightarrow\; 20 + y^2 = 36 \;\Rightarrow\; y^2 = 16,$$ откуда $$y = 4$$ или $$y = -4.$$ Получаем решения $$(2;4)$$ и $$(2;-4).$$
Задание 4628
Решите систему уравнений: $$ \left\{\begin{aligned} x^2 + y = 5 \\ 6x^2 - y = 2 \end{aligned}\right. $$
1) Из первого уравнения: $$y = 5 - x^2.$$ Подставим во второе: $$6x^2 - (5 - x^2) = 2.$$ Упростим: $$7x^2 - 5 = 2,$$ $$7x^2 = 7,$$ $$x^2 = 1.$$ Корни: $$x = \pm 1.$$
2) Найдём $$y.$$ Для $$x = 1$$: $$y = 5 - 1 = 4.$$ Для $$x = -1$$: $$y = 5 - 1 = 4.$$ Решения: $$(1;4),\ (-1;4).$$