Задание 463
Задание 463
Решите систему уравнений: $$ \left\{ \begin{aligned} x^2 + y^2 = 25 \\ xy = 12 \end{aligned} \right. $$
1) Из второго уравнения выразим, например, $$y$$: $$y = \dfrac{12}{x},\quad x \neq 0.$$ Подставим в первое уравнение: $$x^2 + \left(\dfrac{12}{x}\right)^2 = 25.$$ Умножим на $$x^2$$: $$x^4 + 144 = 25x^2.$$ Переносим всё в одну сторону: $$x^4 - 25x^2 + 144 = 0.$$ Обозначим $$t = x^2$$ (учитывая $$t \ge 0$$): $$t^2 - 25t + 144 = 0.$$
2) Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = (-25)^2 - 4\cdot 1\cdot 144 = 625 - 576 = 49.$$ Корни: $$t_{1,2} = \dfrac{25 \pm \sqrt{49}}{2} = \dfrac{25 \pm 7}{2}.$$ Тогда $$t_1 = \dfrac{32}{2} = 16,\qquad t_2 = \dfrac{18}{2} = 9.$$ То есть $$x^2 = 16 \quad\text{или}\quad x^2 = 9.$$ Отсюда $$x = \pm 4,\qquad x = \pm 3.$$
3) Для каждого $$x$$ найдём $$y = \dfrac{12}{x}.$$
Если $$x = 3,$$ то $$y = 4.$$ Если $$x = -3,$$ то $$y = -4.$$ Если $$x = 4,$$ то $$y = 3.$$ Если $$x = -4,$$ то $$y = -3.$$
Получаем четыре решения: $$(3;4),\ (-3;-4),\ (4;3),\ (-4;-3).$$
Аналоги к этому заданию:
Задание 4627
Решите систему уравнений: $$ \left\{ \begin{aligned} x^2 + y^2 = 37\\ xy = 6 \end{aligned} \right. $$
1) Из второго уравнения: $$y = \dfrac{6}{x},\quad x \neq 0.$$ Подставим в первое: $$x^2 + \left(\dfrac{6}{x}\right)^2 = 37.$$ Умножим на $$x^2$$: $$x^4 + 36 = 37x^2.$$ Переносим: $$x^4 - 37x^2 + 36 = 0.$$ Обозначим $$t = x^2.$$ Получаем: $$t^2 - 37t + 36 = 0.$$
2) Дискриминант: $$D = 37^2 - 4\cdot 1\cdot 36 = 1369 - 144 = 1225.$$ Корни: $$t_{1,2} = \dfrac{37 \pm 35}{2}.$$ Тогда $$t_1 = 36,\qquad t_2 = 1.$$ То есть $$x^2 = 36\Rightarrow x = \pm 6,\qquad x^2 = 1\Rightarrow x = \pm 1.$$
3) Найдём $$y = \dfrac{6}{x}$$.
Если $$x = 6,$$ то $$y = 1.$$ Если $$x = -6,$$ то $$y = -1.$$ Если $$x = 1,$$ то $$y = 6.$$ Если $$x = -1,$$ то $$y = -6.$$
Задание 1777
Решите систему уравнений: $$\left\{\begin{aligned} x^2 + y^2 = 10 \\ xy = 3 \end{aligned}\right.$$
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Из второго: $$y = \dfrac{3}{x},\quad x \neq 0.$$ Подставим: $$x^2 + \left(\dfrac{3}{x}\right)^2 = 10.$$ Умножим на $$x^2$$: $$x^4 + 9 = 10x^2.$$ Переносим: $$x^4 - 10x^2 + 9 = 0.$$ Пусть $$t = x^2$$: $$t^2 - 10t + 9 = 0.$$
2) Дискриминант: $$D = 10^2 - 4\cdot 9 = 100 - 36 = 64.$$ Корни: $$t_{1,2} = \dfrac{10 \pm 8}{2}.$$ Тогда $$t_1 = 9,\qquad t_2 = 1.$$ То есть $$x = \pm 3,\qquad x = \pm 1.$$
3) Находим $$y = \dfrac{3}{x}$$.
Если $$x = 3,$$ то $$y = 1.$$ Если $$x = -3,$$ то $$y = -1.$$ Если $$x = 1,$$ то $$y = 3.$$ Если $$x = -1,$$ то $$y = -3.$$
Задание 1373
Решите систему уравнений: $$\left\{\begin{aligned} x^2 + y^2 = 65 \\ xy = 8 \end{aligned}\right.$$
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Из второго уравнения: $$y = \dfrac{8}{x},\quad x \neq 0.$$ Подставим в первое: $$x^2 + \left(\dfrac{8}{x}\right)^2 = 65.$$ Умножим на $$x^2$$: $$x^4 + 64 = 65x^2.$$ Переносим всё в одну сторону: $$x^4 - 65x^2 + 64 = 0.$$ Обозначим $$t = x^2$$: $$t^2 - 65t + 64 = 0.$$
2) Найдём корни через дискриминант: $$D = 65^2 - 4\cdot 1\cdot 64 = 4225 - 256 = 3969.$$ $$t_{1,2} = \dfrac{65 \pm \sqrt{3969}}{2} = \dfrac{65 \pm 63}{2}.$$ Тогда $$t_1 = \dfrac{65 + 63}{2} = 64,\qquad t_2 = \dfrac{65 - 63}{2} = 1.$$ То есть $$x^2 = 64 \Rightarrow x = \pm 8,\qquad x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1.$$
3) Найдём $$y = \dfrac{8}{x}.$$
Если $$x = 8,$$ то $$y = 1.$$
Если $$x = -8,$$ то $$y = -1.$$
Если $$x = 1,$$ то $$y = 8.$$
Если $$x = -1,$$ то $$y = -8.$$
Решения системы: $$(1;8),\ (-1;-8),\ (8;1),\ (-8;-1).$$
Задание 1573
Решите систему уравнений: $$\left\{\begin{aligned} x^2 + y^2 = 40 \\ xy = -12 \end{aligned}\right.$$
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Из второго: $$y = \dfrac{-12}{x},\quad x \neq 0.$$ Подставим: $$x^2 + \left(\dfrac{-12}{x}\right)^2 = 40.$$ Умножим на $$x^2$$: $$x^4 + 144 = 40x^2.$$ Переносим: $$x^4 - 40x^2 + 144 = 0.$$ Пусть $$t = x^2$$: $$t^2 - 40t + 144 = 0.$$
2) Дискриминант: $$D = 40^2 - 4\cdot 144 = 1600 - 576 = 1024.$$ Корни: $$t_{1,2} = \dfrac{40 \pm 32}{2}.$$ Получаем $$t_1 = 36,\qquad t_2 = 4.$$ То есть $$x = \pm 6,\qquad x = \pm 2.$$
3) Находим $$y = \dfrac{-12}{x}.$$
Если $$x = 6,$$ то $$y = -2.$$ Если $$x = -6,$$ то $$y = 2.$$ Если $$x = 2,$$ то $$y = -6.$$ Если $$x = -2,$$ то $$y = 6.$$
Задание 1592
Решите систему уравнений: $$\left\{\begin{aligned} xy = -8 \\ x^2 + y^2 = 65 \end{aligned}\right.$$
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Из первого: $$y = \dfrac{-8}{x},\quad x \neq 0.$$ Подставим во второе: $$x^2 + \left(\dfrac{-8}{x}\right)^2 = 65.$$ Умножим на $$x^2$$: $$x^4 + 64 = 65x^2.$$ Переносим: $$x^4 - 65x^2 + 64 = 0.$$ Пусть $$t = x^2$$: $$t^2 - 65t + 64 = 0.$$
2) Дискриминант: $$D = 65^2 - 4\cdot 64 = 4225 - 256 = 3969.$$ Корни: $$t_{1,2} = \dfrac{65 \pm 63}{2}.$$ Получаем $$t_1 = 64,\qquad t_2 = 1.$$ То есть $$x = \pm 8,\qquad x = \pm 1.$$
3) Находим $$y = \dfrac{-8}{x}$$.
Если $$x = 8,$$ то $$y = -1.$$ Если $$x = -8,$$ то $$y = 1.$$ Если $$x = 1,$$ то $$y = -8.$$ Если $$x = -1,$$ то $$y = 8.$$
Решения: $$(8;-1),\ (-8;1),\ (1;-8),\ (-1;8).$$
Задание 65
Решите систему уравнений: $$ \left\{ \begin{aligned} x^2 + y^2 = 68, \\ xy = -16. \end{aligned} \right. $$
1) Из второго уравнения: $$y = \dfrac{-16}{x},\qquad x \ne 0.$$ Подставим в первое: $$x^2 + \left(\dfrac{-16}{x}\right)^2 = 68.$$ Умножим на $$x^2$$. Тогда: $$x^2\cdot x^2 + 256 = 68x^2,$$ $$x^4 + 256 = 68x^2.$$ Переносим: $$x^4 - 68x^2 + 256 = 0.$$ Пусть $$t = x^2$$, тогда $$t^2 - 68t + 256 = 0.$$
2) Дискриминант: $$D = 68^2 - 4\cdot 256 = 4624 - 1024 = 3600.$$ Корни: $$t_{1,2} = \dfrac{68 \pm \sqrt{3600}}{2} = \dfrac{68 \pm 60}{2}.$$ Получаем: $$t_1 = 64,\qquad t_2 = 4.$$ То есть $$x^2 = 64,\qquad x^2 = 4,$$ откуда $$x = \pm 8,\qquad x = \pm 2.$$
3) Находим $$y = \dfrac{-16}{x}.$$ Если $$x = 8,$$ то $$y = -2.$$ Если $$x = -8,$$ то $$y = 2.$$ Если $$x = 2,$$ то $$y = -8.$$ Если $$x = -2,$$ то $$y = 8.$$