Задание 3075

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

ОДЗ: $$4-x\neq 0 \Leftrightarrow x\neq 4$$

$$(\frac{x+1}{4-x})^{2}\leq\frac{1}{4}\Leftrightarrow $$$$(\frac{x+1}{4-x})^{2} - (\frac{1}{2})^{2}\leq 0\Leftrightarrow $$$$(\frac{x+1}{2(4-x)}-\frac{1}{2})(\frac{x+1}{2(4-x)}+\frac{1}{2})\leq 0\Leftrightarrow $$$$\frac{2x+2-4+x}{2(4-x)}*\frac{2x+2+4-x}{2(4-x)}\leq 0\Leftrightarrow $$$$\frac{3x-2}{2(4-x)}*\frac{x+6}{2(4-x)}\leq 0\Leftrightarrow $$$$\frac{(3x-2)(x+6)}{4(4-x)^{2}}\leq 0\Leftrightarrow $$

Приравняем к нулю числитель и знаменатель, отметим полученные точки на координатной прямой, расставим знаки, которые принимает выражение слева от нуля ( неравенство не строгое, значит точки числителя будут закрашенные):

В итоге получаем решение: $$x \in [-6;\frac{2}{3}]$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$(\frac{x+2}{8-x})^{2}\leq\frac{1}{16}$$

ОДЗ: $$8-1\neq0$$

$$x\neq8$$

$$\frac{x+2}{8-x}=y$$

$$y^{2}\leq\frac{1}{16}$$

$$y^{2}-(\frac{1}{4})^{2}\leq0$$

$$\left\{\begin{matrix}y\geq-\frac{1}{4}\\y\leq\frac{1}{4}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\left\{\begin{matrix}\frac{x+2}{8-x}\geq-\frac{1}{4}\\\frac{x+2}{8-x}\leq\frac{1}{4}\end{matrix}\right.$$

1) $$\frac{x+2}{8-x}+\frac{1}{4}\geq0$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\frac{4x+8+8-x}{4(8-x)}\geq0$$

$$\frac{3x+16}{8-x}\geq0$$ $$\Leftrightarrow$$

$$x\in[-\frac{16}{3};8)$$

2) $$\frac{x+2}{8-x}-\frac{1}{4}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$

$$\frac{4x+8-8+x}{4(8-x)}\leq0$$

$$\frac{5x}{8-x}\leq0$$ $$\Leftrightarrow$$

$$x\in(-\infty;0]\cup(8;+\infty)$$

Найдем пересечение ответов: $$x\in[-\frac{16}{3};0]$$