Планиметрия: задачи, связанные с углами

1. Найдем градусную меру дуги:

$$\text{Дуга} = \frac{13}{36} \cdot 360^{\circ} = 13 \cdot 10^{\circ} = 130^{\circ}$$

2. Вписанный угол равен половине дуги:

$$\text{Угол} = \frac{130^{\circ}}{2} = 65^{\circ}$$

1. Проведем радиус $$OA$$. Треугольник $$OAC$$ прямоугольный ($$\angle OAC = 90^{\circ}$$).

2. Центральный угол $$AOC$$ равен градусной мере дуги $$AB$$:

$$\angle AOC = 22^{\circ}$$

3. Найдем угол $$ACO$$:

$$\angle ACO = 90^{\circ} - 22^{\circ} = 68^{\circ}$$

1. Пусть вписанный угол равен $$x$$. Тогда центральный угол равен $$2x$$.

2. Составим уравнение по условию задачи:

$$2x = x + 40^{\circ}$$

3. Найдем вписанный угол:

$$x = 40^{\circ}$$

4. Найдем центральный угол:

$$2x = 2 \cdot 40^{\circ} = 80^{\circ}$$

1. Обозначим меньший угол за $$x$$. Тогда больший угол равен $$x + 28^{\circ}$$. Сумма углов, прилегающих к одной стороне, равна $$180^{\circ}$$:

$$x + (x + 28^{\circ}) = 180^{\circ}$$

2. Решим уравнение:

$$2x = 152^{\circ}$$

$$x = 76^{\circ}$$

1. Обозначим меньший угол за $$x$$. Тогда больший угол равен $$x + 52^{\circ}$$. Сумма углов, прилегающих к одной стороне, равна $$180^{\circ}$$:

$$x + (x + 52^{\circ}) = 180^{\circ}$$

2. Решим уравнение:

$$2x = 128^{\circ}$$

$$x = 64^{\circ}$$

3. Найдём больший угол:

$$64^{\circ} + 52^{\circ} = 116^{\circ}$$

1. Рассмотрим трапецию с основаниями $$3$$ и $$11$$. Проведём диагональ. Она отсекает от трапеции два треугольника, в которых отрезки средней линии являются средними линиями этих треугольников.

2. Найдём длины отрезков, на которые диагональ делит среднюю линию:

Первый отрезок равен половине меньшего основания: $$\frac{3}{2} = 1,5$$

Второй отрезок равен половине большего основания: $$\frac{11}{2} = 5,5$$

3. Находим больший отрезок: $$5,5$$

1. Пусть острые углы прямоугольного треугольника равны $$A = 37^\circ$$ и $$B = 53^\circ.$$

2. Угол $$ACH$$ между высотой $$CH$$ и катетом, образующим угол $$A$$, равен $$90^\circ - \angle A = 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ.$$

3. Медиана $$CM$$ образует с этим же катетом угол, равный противоположному острому углу: $$\angle ACM = \angle A = 37^\circ.$$

4. Тогда угол между высотой и медианой равен $$\angle ACH - \angle ACM = 53^\circ - 37^\circ = 16^\circ.$$

Угол $$A = 90^\circ - 16^\circ = 74^\circ$$.

Биссектриса $$CD$$ делит угол $$C$$ пополам: $$\angle DCB = 45^\circ$$.

Медиана $$CM$$ равна половине гипотенузы: $$CM = AM = BM$$, поэтому $$\triangle CBM$$ равнобедренный.

Угол $$MCB = \angle B = 16^\circ$$.

Угол между $$CD$$ и $$CM$$: $$\angle DCM = \angle DCB - \angle MCB = 45^\circ - 16^\circ = 29^\circ$$.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

$$CM = AM = BM$$, поэтому треугольник $$CBM$$ – равнобедренный.

Угол $$MCB = \angle B = 65^\circ$$.

В прямоугольном треугольнике $$HCB$$: угол $$HCB = 90^\circ - \angle B = 25^\circ$$

Угол между $$CH$$ и $$CM$$: $$\angle HCM = \angle MCB - \angle ACH = 65^\circ - 25^\circ = 40^\circ$$.

1. Рассмотрим треугольник $$OBC$$. Так как $$OB$$ и $$OC$$ – радиусы окружности, треугольник $$OBC$$ является равнобедренным.

2. Углы при основании равнобедренного треугольника равны:

$$\angle OBC = \angle OCB = \angle ACB = 39^{\circ}$$

3. Найдем угол $$BOC$$ при вершине треугольника $$OBC$$:

$$\angle BOC = 180^{\circ} - (\angle OBC + \angle OCB) = 180^{\circ} - 2 \cdot 39^{\circ} = 180^{\circ} - 78^{\circ} = 102^{\circ}$$

4. Углы $$AOD$$ и $$BOC$$ являются вертикальными, значит они равны:

$$\angle AOD = \angle BOC = 102^{\circ}$$

1. Найдем угол $$AOB$$:

$$\angle AOB = 180^{\circ} - \angle AOD = 180^{\circ} - 72^{\circ} = 108^{\circ}$$

2. Вписанный угол $$ACB$$ равен половине центрального угла $$AOB$$:

$$\angle ACB = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{108^{\circ}}{2} = 54^{\circ}$$

1. Сумма боковых сторон равна половине периметра:

$$b_1 + b_2 = \frac{24}{2} = 12$$

2. Большая боковая сторона $$l = 7$$. Найдём высоту $$h$$:

$$h = 12 - 7 = 5$$

3. Радиус равен половине высоты:

$$r = \frac{5}{2} = 2,5$$

1. Точка $$F$$ – середина $$CD$$, поэтому:

$$CF = \frac{CD}{2} = \frac{AB}{2}$$

2. Трапеция $$ABCF$$ имеет основания $$AB$$ и $$CF$$. Её площадь:

$$S_{ABCF} = \frac{AB + CF}{2} \cdot h = \frac{AB + \frac{AB}{2}}{2} \cdot h = \frac{3AB}{4} \cdot h$$

3. Так как $$S_{ABCD} = AB \cdot h = 92$$, то:

$$S_{ABCF} = \frac{3}{4} \cdot 92 = 69$$

1. Так как $$DE$$ — средняя линия, треугольник $$CDE$$ подобен треугольнику $$ABC$$ с коэффициентом подобия $$k = \frac{1}{2}$$.

2. Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{CDE}}{S_{ABC}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$

3. Найдём площадь меньшего треугольника:

$$S_{CDE} = \frac{S_{ABC}}{4} = \frac{36}{4} = 9$$

1. Найдем площадь параллелограмма, используя меньшую сторону $$a = 24$$ и высоту $$h_a = 18$$:

$$S = 24 \cdot 18$$

2. Пусть $$h_b$$ — высота, опущенная на большую сторону $$b = 27$$. Тогда:

$$S = 27 \cdot h_b$$

3. Приравняем площади и найдем $$h_b$$:

$$27 \cdot h_b = 24 \cdot 18$$

$$h_b = \frac{24 \cdot 18}{27} = \frac{24 \cdot 2}{3} = 16$$