Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 6215
Найдите корень уравнения: $$\sqrt{4x+24}=8$$
ОДЗ: $$4x + 24 \ge 0$$, откуда $$x \ge -6$$
Возведём обе части уравнения в квадрат:
$$4x + 24 = 64$$
Вычтем из обеих частей $$24$$:
$$4x = 40$$
Разделим обе части на $$4$$:
$$x = 10$$
Корень входит в ОДЗ.
Задание 6236
Решите уравнение $$\sqrt{54-3x}=x$$. Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.
ОДЗ: $$54 - 3x \ge 0$$ и $$x \ge 0$$, откуда $$0 \le x \le 18$$
Возведём обе части уравнения в квадрат:
$$54 - 3x = x^2$$
Перенесём все члены в правую часть:
$$x^2 + 3x - 54 = 0$$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$$D = 9 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225$$
$$x = \frac{-3 \pm 15}{2}$$
$$x_1 = 6$$, $$x_2 = -9$$
Проверим корни по ОДЗ:
$$x_1 = 6$$ — входит в ОДЗ
$$x_2 = -9$$ — не входит в ОДЗ
Задание 844
Решите уравнение: $$x^2 + 3x - 18 + 4\sqrt{x^2 + 3x - 6} = 0$$. В ответе укажите сумму действительных корней этого уравнения.
$$x² + 3\cdot x - 18 + 4\cdot\sqrt{x² + 3\cdot x - 6} = 0$$
Сделаем замену $$a$$ на $$x² + 3\cdot x,$$ тогда получим:
$$a - 18 + 4\cdot\sqrt{a-6} = 0$$
$$4\cdot (a - 6) = (18 - a)²$$
$$a² - 52\cdot a + 420 = 0$$
$$a=42$$ и $$a=10$$
$$x² + 3\cdot x - 42 = 0,$$ $$D = 177,$$ $$x = \frac{-3\pm\sqrt{177}}{2}$$
$$x² + 3\cdot x - 10 = 0,$$ откуда $$x = -5$$ и $$x = 2$$
Верны только последние два корня.
$$-5+2=-3$$