Касательная, хорда, секущая
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 6121
Найдите угол $$ACO$$, если его сторона $$CA$$ касается окружности с центром $$O$$, отрезок $$CO$$ пересекает окружность в точке $$B$$ (см. рис.), а дуга $$AB$$ окружности, заключённая внутри этого угла, равна $$22^{\circ}$$. Ответ дайте в градусах.
1. Проведем радиус $$OA$$. Треугольник $$OAC$$ прямоугольный ($$\angle OAC = 90^{\circ}$$).
2. Центральный угол $$AOC$$ равен градусной мере дуги $$AB$$:
$$\angle AOC = 22^{\circ}$$
3. Найдем угол $$ACO$$:
$$\angle ACO = 90^{\circ} - 22^{\circ} = 68^{\circ}$$
Задание 6136
Угол $$ACB$$ равен $$46^{\circ}$$. Градусная мера дуги $$AB$$ окружности, не содержащей точек $$D$$ и $$E$$, равна $$130^{\circ}$$. Найдите угол $$DAE$$. Ответ дайте в градусах.
1. Используем свойство угла между секущими:
$$\angle ACB = \frac{1}{2} (\smile AB - \smile DE)$$
2. Найдём меру дуги $$DE$$:
$$46^{\circ} = \frac{1}{2} (130^{\circ} - \smile DE)$$
$$92^{\circ} = 130^{\circ} - \smile DE$$
$$\smile DE = 38^{\circ}$$
3. Вписанный угол $$DAE$$ равен половине дуги $$DE$$:
$$\angle DAE = \frac{1}{2} \cdot 38^{\circ} = 19^{\circ}$$
Задание 6116
Угол $$ACO$$ равен $$34^{\circ}$$, где $$O$$ – центр окружности. Его сторона $$CA$$ касается окружности. Сторона $$CO$$ пересекает окружность в точке $$B$$ (см. рис.). Найдите величину меньшей дуги $$AB$$ окружности. Ответ дайте в градусах.
1. Проведем радиус $$OA$$ в точку касания $$A$$. Так как $$CA$$ – касательная, то:
$$\angle OAC = 90^{\circ}$$
2. В прямоугольном треугольнике $$OAC$$ найдем угол при вершине $$O$$:
$$\angle AOC = 90^{\circ} - \angle ACO = 90^{\circ} - 34^{\circ} = 56^{\circ}$$
3. Градусная мера дуги $$AB$$ равна центральному углу $$AOB$$, который совпадает с $$\angle AOC$$:
$$\smile AB = 56^{\circ}$$
Задание 6131
Угол $$ACO$$ равен $$51^{\circ}$$. Его сторона $$CA$$ касается окружности с центром в точке $$O$$. Сторона $$CO$$ пересекает окружность в точках $$B$$ и $$D$$ (см. рис.). Найдите градусную меру дуги $$AD$$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
1. Проведём радиус $$OA$$ в точку касания $$A$$. По свойству касательной:
$$\angle OAC = 90^{\circ}$$
2. В прямоугольном треугольнике $$OAC$$ найдём угол $$AOC$$:
$$\angle AOC = 90^{\circ} - \angle ACO = 90^{\circ} - 51^{\circ} = 39^{\circ}$$
3. Углы $$AOC$$ и $$AOD$$ смежные. Найдём $$\angle AOD$$:
$$\angle AOD = 180^{\circ} - \angle AOC = 180^{\circ} - 39^{\circ} = 141^{\circ}$$
4. Градусная мера дуги $$AD$$ равна центральному углу $$AOD$$:
$$\smile AD = 141^{\circ}$$
Задание 6126
Через концы $$A$$ и $$B$$ дуги окружности с центром $$O$$ проведены касательные $$AC$$ и $$BC$$. Меньшая дуга $$AB$$ равна $$40^{\circ}$$. Найдите угол $$ACB$$. Ответ дайте в градусах.
1. Проведем радиусы $$OA$$ и $$OB$$. Углы между радиусами и касательными равны $$90^{\circ}$$.
2. Центральный угол $$AOB$$ равен дуге $$AB$$:
$$\angle AOB = 40^{\circ}$$
3. В четырехугольнике $$OACB$$:
$$\angle ACB = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}$$