Описанные окружности

1. Воспользуемся теоремой синусов:

$$\frac{AB}{\sin C} = 2R$$

2. Найдём значение синуса угла $$C$$ ($$135^{\circ}$$):

$$\sin 135^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

3. Подставим известные значения $$AB = 9\sqrt{2}$$ и $$\sin C = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ в формулу:

$$2R = \frac{9\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

4. Выполним вычисления:

$$2R = 9\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 18$$

5. Найдём радиус $$R$$:

$$R = \frac{18}{2} = 9$$

1. Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника: сумма его противоположных углов равна $$180^{\circ}$$.

2. Проверим, являются ли данные углы противоположными. Найдём их сумму:

$$58^{\circ} + 79^{\circ} = 137^{\circ}$$

Так как сумма не равна $$180^{\circ}$$, данные углы не являются противоположными, значит, они являются соседними.

3. Найдём два оставшихся угла. Каждый из них в паре с данным углом составляет $$180^{\circ}$$:

Первый оставшийся угол: $$180^{\circ} - 58^{\circ} = 122^{\circ}$$

Второй оставшийся угол: $$180^{\circ} - 79^{\circ} = 101^{\circ}$$

4. Сравним найденные углы и выберем меньший:

$$101^{\circ} < 122^{\circ}$$

1. Вспомним свойство четырёхугольника, вписанного в окружность: сумма его противоположных углов равна $$180^{\circ}$.

2. Проверим, являются ли данные углы противоположными. Найдём их сумму:

$$83^{\circ} + 89^{\circ} = 172^{\circ}$$

Так как сумма не равна $$180^{\circ}$$, данные углы не являются противоположными, значит, они являются соседними.

3. Найдём два оставшихся угла. Каждый из них в паре с данным углом составляет $$180^{\circ}$$. Первый оставшийся угол (противоположный углу $$83^{\circ}$$):

$$180^{\circ} - 83^{\circ} = 97^{\circ}$$

4. Второй оставшийся угол (противоположный углу $$89^{\circ}$$):

$$180^{\circ} - 89^{\circ} = 91^{\circ}$$

5. Сравним найденные углы и выберем больший:

$$97^{\circ} > 91^{\circ}$$

1. Найдём угол $$DBC$$:

$$\angle DBC = \angle ABC - \angle ABD = 102^{\circ} - 56^{\circ} = 46^{\circ}$$

2. Вписанные углы $$CAD$$ и $$DBC$$ опираются на одну дугу $$CD$$, поэтому они равны:

$$\angle CAD = \angle DBC = 46^{\circ}$$

1. Вписанные углы $$CAD$$ и $$CBD$$ опираются на одну дугу $$CD$$, поэтому:

$$\angle CBD = \angle CAD = 41^{\circ}$$

2. Найдём угол $$ABD$$:

$$\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 104^{\circ} - 41^{\circ} = 63^{\circ}$$

1. Вписанные углы $$CAD$$ и $$CBD$$ опираются на одну дугу $$CD$$, поэтому они равны:

$$\angle CBD = \angle CAD = 49^{\circ}$$

2. Угол $$ABC$$ равен сумме углов $$\angle ABD$$ и $$\angle CBD$$:

$$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD$$

3. Подставим значения:

$$\angle ABC = 70^{\circ} + 49^{\circ} = 119^{\circ}$$

1. Используем свойство вписанного четырёхугольника: сумма противоположных углов равна $$180^{\circ}$$.

2. Найдём угол $$BAD$$:

$$\angle BAD = 180^{\circ} - \angle BCD = 180^{\circ} - 39^{\circ} = 141^{\circ}$$