Планиметрия: задачи, связанные с углами

Пусть $$CH$$ – высота, а $$CM$$ – биссектриса треугольника $$ABC$$.

1. Пусть меньший угол треугольника равен $$A$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$ACH$$ имеем $$\angle ACH = 90^\circ - \angle A.$$

2. Биссектриса $$CM$$ делит прямой угол $$C = 90^\circ$$ на два угла по $$45^\circ$$, значит $$\angle ACM = 45^\circ.$$

3. Угол между высотой и биссектрисой равен $$\angle MCH = (90^\circ - A) - 45^\circ = 45^\circ - A.$$ По условию он равен $$14^\circ$$, значит $$45^\circ - A = 14^\circ,$$ откуда $$A = 31^\circ.$$

Так как $$AD$$ – биссектриса, то $$\angle CAD = \angle BAD = 44^\circ$$.

Угол $$A = \angle CAD + \angle BAD = 44^\circ + 44^\circ = 88^\circ$$.

Сумма углов треугольника: $$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$.

$$88^\circ + \angle B + 68^\circ = 180^\circ$$

$$\angle B = 180^\circ - 156^\circ = 24^\circ$$.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

$$CD = AD = BD$$, поэтому треугольник $$ACD$$ – равнобедренный.

Угол $$ACD = \angle CAD = 90^\circ - 29^\circ = 61^\circ$$.

1. Так как $$AC = BC$$, треугольник $$ABC$$ является равнобедренным с основанием $$AB$$. Поэтому углы при основании равны: $$\angle A = \angle B.$$

2. Внешний угол при вершине $$B$$ равен сумме двух внутренних несмежных углов: $$111^\circ = \angle A + \angle C.$$

Сумма углов треугольника: $$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ,$$ подставим $$\angle B = \angle A$$: $$2\angle A + \angle C = 180^\circ.$$

Подставим $$\angle C = 111^\circ - \angle A$$: $$2\angle A + 111^\circ - \angle A = 180^\circ,$$ $$\angle A = 69^\circ.$$

Тогда $$\angle C = 111^\circ - 69^\circ = 42^\circ.$$

1. Так как $$AC = BC$$, треугольник $$ABC$$ является равнобедренным с основанием $$AB$$. Поэтому углы при основании равны: $$\angle A = \angle B.$$

2. Сумма углов треугольника: $$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ.$$

Подставим значения: $$\angle A + \angle A + 100^\circ = 180^\circ.$$

Следовательно: $$2\angle A = 80^\circ,$$ откуда $$\angle A = 40^\circ.$$

1. Пусть острые углы прямоугольного треугольника равны $$A = 37^\circ$$ и $$B = 53^\circ.$$

2. Угол $$ACH$$ между высотой $$CH$$ и катетом, образующим угол $$A$$, равен $$90^\circ - \angle A = 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ.$$

3. Медиана $$CM$$ образует с этим же катетом угол, равный противоположному острому углу: $$\angle ACM = \angle A = 37^\circ.$$

4. Тогда угол между высотой и медианой равен $$\angle ACH - \angle ACM = 53^\circ - 37^\circ = 16^\circ.$$

Угол $$A = 90^\circ - 16^\circ = 74^\circ$$.

Биссектриса $$CD$$ делит угол $$C$$ пополам: $$\angle DCB = 45^\circ$$.

Медиана $$CM$$ равна половине гипотенузы: $$CM = AM = BM$$, поэтому $$\triangle CBM$$ равнобедренный.

Угол $$MCB = \angle B = 16^\circ$$.

Угол между $$CD$$ и $$CM$$: $$\angle DCM = \angle DCB - \angle MCB = 45^\circ - 16^\circ = 29^\circ$$.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

$$CM = AM = BM$$, поэтому треугольник $$CBM$$ – равнобедренный.

Угол $$MCB = \angle B = 65^\circ$$.

В прямоугольном треугольнике $$HCB$$: угол $$HCB = 90^\circ - \angle B = 25^\circ$$

Угол между $$CH$$ и $$CM$$: $$\angle HCM = \angle MCB - \angle ACH = 65^\circ - 25^\circ = 40^\circ$$.

Пусть медиана $$CH$$ и биссектриса $$CM$$ проведены из вершины прямого угла $$C$$ треугольника $$ABC$$.

1. Пусть $$A$$ — один из острых углов. Тогда $$\angle B = 90^\circ - A.$$

2. Из геометрических свойств: $$\angle HCA = A,$$ а $$\angle ACM = 45^\circ.$$

3. Угол между медианой и биссектрисой: $$A - 45^\circ = 14^\circ.$$ Тогда $$A = 59^\circ.$$

Меньший угол: $$\angle B = 90^\circ - 59^\circ = 31^\circ.$$