Треугольники общего вида
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 5936
В треугольнике $$ABC$$ $$AD$$ – биссектриса, угол $$C$$ равен $$68^\circ$$, угол $$CAD$$ равен $$44^\circ$$. Найдите угол $$B$$. Ответ дайте в градусах.
Так как $$AD$$ – биссектриса, то $$\angle CAD = \angle BAD = 44^\circ$$.
Угол $$A = \angle CAD + \angle BAD = 44^\circ + 44^\circ = 88^\circ$$.
Сумма углов треугольника: $$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$.
$$88^\circ + \angle B + 68^\circ = 180^\circ$$
$$\angle B = 180^\circ - 156^\circ = 24^\circ$$.
Задание 6009
В треугольнике $$ABC$$ $$EF$$ — средняя линия. Площадь треугольника $$BEF$$ равна $$4$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$.
1. Так как $$EF$$ — средняя линия, треугольник $$BEF$$ подобен треугольнику $$ABC$$ с коэффициентом $$k = \frac{1}{2}$$.
2. Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:
$$\frac{S_{BEF}}{S_{ABC}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$
3. Найдём площадь треугольника $$ABC$$:
$$S_{ABC} = 4 \cdot S_{BEF} = 4 \cdot 4 = 16$$
Задание 6010
В треугольнике $$ABC$$ $$EF$$ — средняя линия. Площадь треугольника $$BEF$$ равна $$8$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$.
1. По определению средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. Значит, сторона $$EF$$ относится к стороне $$AC$$ как $$1:2$$. Это означает, что треугольник $$BEF$$ подобен треугольнику $$ABC$$ с коэффициентом подобия $$k = \frac{1}{2}$$.
2. Вспомним свойство площадей подобных фигур: отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
$$\frac{S_{BEF}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$
3. Из этого соотношения следует, что площадь большего треугольника $$ABC$$ в $$4$$ раза больше площади треугольника $$BEF$$:
$$S_{ABC} = 4 \cdot S_{BEF} = 4 \cdot 8 = 32$$
Задание 5963
В треугольнике $$ABC$$ угол $$A$$ равен $$44^{\circ}$$, углы $$B$$ и $$C$$ – острые, высоты $$BD$$ и $$CE$$ пересекаются в точке $$O$$. Найдите угол $$DOE$$. Ответ дайте в градусах.
Решение:
1. По условию $$BD$$ и $$CE$$ — высоты, значит:
$$\angle AEO = 90^{\circ}, \quad \angle ADO = 90^{\circ}$$
2. Рассмотрим четырёхугольник $$AEOD$$. Сумма его углов равна $$360^{\circ}$$:
$$\angle DOE = 360^{\circ} - \angle A - \angle AEO - \angle ADO = 360^{\circ} - 44^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} = 136^{\circ}$$
Задание 5968
В треугольнике $$ABC$$ угол $$C$$ равен $$58^{\circ}$$, биссектрисы $$AD$$ и $$BE$$ пересекаются в точке $$O$$. Найдите угол $$AOB$$. Ответ дайте в градусах.
1. Сумма углов треугольника $$ABC$$ равна $$180^{\circ}$$, поэтому:
$$\angle A + \angle B = 180^{\circ} - \angle C = 180^{\circ} - 58^{\circ} = 122^{\circ}$$
2. Найдём угол $$AOB$$:
$$\angle AOB = 180^{\circ} - \frac{\angle A + \angle B}{2} = 180^{\circ} - \frac{122^{\circ}}{2} = 180^{\circ} - 61^{\circ} = 119^{\circ}$$
Задание 5994
Две стороны треугольника равны $$10$$ и $$35$$. Высота, опущенная на бо́льшую из этих сторон, равна $$9$$. Найдите высоту, опущенную на меньшую из этих сторон треугольника.
1. Площадь треугольника:
$$S = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot 9 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h$$
2. Приравняем выражения для площади:
$$35 \cdot 9 = 10 \cdot h$$
$$h = \frac{35 \cdot 9}{10} = 31,5$$
Задание 6013
Площадь треугольника $$ABC$$ равна $$36$$, $$DE$$ – средняя линия, параллельная стороне $$AB$$. Найдите площадь треугольника $$CDE$$.
1. Так как $$DE$$ — средняя линия, треугольник $$CDE$$ подобен треугольнику $$ABC$$ с коэффициентом подобия $$k = \frac{1}{2}$$.
2. Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:
$$\frac{S_{CDE}}{S_{ABC}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$
3. Найдём площадь меньшего треугольника:
$$S_{CDE} = \frac{S_{ABC}}{4} = \frac{36}{4} = 9$$