Решение прямоугольного треугольника
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 5830
В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен $$14^\circ$$. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Пусть $$CH$$ – высота, а $$CM$$ – биссектриса треугольника $$ABC$$.
1. Пусть меньший угол треугольника равен $$A$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$ACH$$ имеем $$\angle ACH = 90^\circ - \angle A.$$
2. Биссектриса $$CM$$ делит прямой угол $$C = 90^\circ$$ на два угла по $$45^\circ$$, значит $$\angle ACM = 45^\circ.$$
3. Угол между высотой и биссектрисой равен $$\angle MCH = (90^\circ - A) - 45^\circ = 45^\circ - A.$$ По условию он равен $$14^\circ$$, значит $$45^\circ - A = 14^\circ,$$ откуда $$A = 31^\circ.$$
Задание 5926
В треугольнике $$ABC$$ $$CD$$ – медиана, угол $$C$$ равен $$90^\circ$$, угол $$B$$ равен $$29^\circ$$. Найдите угол $$ACD$$. Ответ дайте в градусах.
В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
$$CD = AD = BD$$, поэтому треугольник $$ACD$$ – равнобедренный.
Угол $$ACD = \angle CAD = 90^\circ - 29^\circ = 61^\circ$$.
Задание 5840
Острые углы прямоугольного треугольника равны $$53^\circ$$ и $$37^\circ$$. Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
1. Пусть острые углы прямоугольного треугольника равны $$A = 37^\circ$$ и $$B = 53^\circ.$$
2. Угол $$ACH$$ между высотой $$CH$$ и катетом, образующим угол $$A$$, равен $$90^\circ - \angle A = 90^\circ - 37^\circ = 53^\circ.$$
3. Медиана $$CM$$ образует с этим же катетом угол, равный противоположному острому углу: $$\angle ACM = \angle A = 37^\circ.$$
4. Тогда угол между высотой и медианой равен $$\angle ACH - \angle ACM = 53^\circ - 37^\circ = 16^\circ.$$
Задание 5941
Острый угол $$B$$ прямоугольного треугольника $$ABC$$ равен $$16^\circ$$. Найдите величину угла между биссектрисой $$CD$$ и медианой $$CM$$, проведёнными из вершины прямого угла $$C$$. Ответ дайте в градусах.
Угол $$A = 90^\circ - 16^\circ = 74^\circ$$.
Биссектриса $$CD$$ делит угол $$C$$ пополам: $$\angle DCB = 45^\circ$$.
Медиана $$CM$$ равна половине гипотенузы: $$CM = AM = BM$$, поэтому $$\triangle CBM$$ равнобедренный.
Угол $$MCB = \angle B = 16^\circ$$.
Угол между $$CD$$ и $$CM$$: $$\angle DCM = \angle DCB - \angle MCB = 45^\circ - 16^\circ = 29^\circ$$.
Задание 5931
Острый угол $$B$$ прямоугольного треугольника $$ABC$$ равен $$65^\circ$$. Найдите величину угла между высотой $$CH$$ и медианой $$CM$$, проведёнными из вершины прямого угла $$C$$. Ответ дайте в градусах.
В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
$$CM = AM = BM$$, поэтому треугольник $$CBM$$ – равнобедренный.
Угол $$MCB = \angle B = 65^\circ$$.
В прямоугольном треугольнике $$HCB$$: угол $$HCB = 90^\circ - \angle B = 25^\circ$$
Угол между $$CH$$ и $$CM$$: $$\angle HCM = \angle MCB - \angle ACH = 65^\circ - 25^\circ = 40^\circ$$.
Задание 5835
Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен $$14^\circ$$. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Пусть медиана $$CH$$ и биссектриса $$CM$$ проведены из вершины прямого угла $$C$$ треугольника $$ABC$$.
1. Пусть $$A$$ — один из острых углов. Тогда $$\angle B = 90^\circ - A.$$
2. Из геометрических свойств: $$\angle HCA = A,$$ а $$\angle ACM = 45^\circ.$$
3. Угол между медианой и биссектрисой: $$A - 45^\circ = 14^\circ.$$ Тогда $$A = 59^\circ.$$
Меньший угол: $$\angle B = 90^\circ - 59^\circ = 31^\circ.$$