ЕГЭ (профиль) / Простейшие уравнения

Представим $$512$$ как $$2^9$$:

$$(x-7)^9 = 2^9$$

Извлечём корень девятой степени из обеих частей (показатель нечётный, поэтому корень единственный):

$$x - 7 = 2$$

Прибавим к обеим частям $$7$$:

$$x = 9$$

ОДЗ: $$4x - 2 \neq 0$$, откуда $$x \neq \frac{1}{2}$$

Умножим обе части уравнения на $$(4x - 2)$$:

$$1 = 5(4x - 2)$$

Раскроем скобки в правой части:

$$1 = 20x - 10$$

Перенесём $$-10$$ в левую часть с противоположным знаком:

$$1 + 10 = 20x$$

$$11 = 20x$$

Поделим обе части на $$20$$:

$$x = \frac{11}{20}$$

Проверим, входит ли найденный корень в ОДЗ:

$$\frac{11}{20} \neq \frac{1}{2}$$ — условие выполняется

Возведём обе части уравнения в куб:

$$x + 6 = 64$$

Вычтем из обеих частей $$6$$:

$$x = 58$$

ОДЗ: $$4x + 24 \ge 0$$, откуда $$x \ge -6$$

Возведём обе части уравнения в квадрат:

$$4x + 24 = 64$$

Вычтем из обеих частей $$24$$:

$$4x = 40$$

Разделим обе части на $$4$$:

$$x = 10$$

Корень входит в ОДЗ.

Представим обе части как степени с основанием $$3$$:

$$(3^2)^{x-6} = 3^4$$

$$3^{2(x-6)} = 3^4$$

Приравняем показатели степеней:

$$2(x - 6) = 4$$

Разделим обе части на $$2$$:

$$x - 6 = 2$$

Прибавим к обеим частям $$6$$:

$$x = 8$$

ОДЗ: $$54 - 3x \ge 0$$ и $$x \ge 0$$, откуда $$0 \le x \le 18$$

Возведём обе части уравнения в квадрат:

$$54 - 3x = x^2$$

Перенесём все члены в правую часть:

$$x^2 + 3x - 54 = 0$$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$$D = 9 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225$$

$$x = \frac{-3 \pm 15}{2}$$

$$x_1 = 6$$, $$x_2 = -9$$

Проверим корни по ОДЗ:

$$x_1 = 6$$ — входит в ОДЗ

$$x_2 = -9$$ — не входит в ОДЗ

$$x² + 3\cdot x - 18 + 4\cdot\sqrt{x² + 3\cdot x - 6} = 0$$

Сделаем замену $$a$$ на $$x² + 3\cdot x,$$ тогда получим:

$$a - 18 + 4\cdot\sqrt{a-6} = 0$$

$$4\cdot (a - 6) = (18 - a)²$$

$$a² - 52\cdot a + 420 = 0$$

$$a=42$$ и $$a=10$$

$$x² + 3\cdot x - 42 = 0,$$ $$D = 177,$$ $$x = \frac{-3\pm\sqrt{177}}{2}$$

$$x² + 3\cdot x - 10 = 0,$$ откуда $$x = -5$$ и $$x = 2$$

Верны только последние два корня.

$$-5+2=-3$$