Планиметрия: задачи, связанные с углами

1. Так как $$AC = BC$$, треугольник $$ABC$$ является равнобедренным с основанием $$AB$$. Поэтому углы при основании равны: $$\angle A = \angle B.$$

2. Сумма углов треугольника: $$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ.$$

Подставим значения: $$\angle A + \angle A + 100^\circ = 180^\circ.$$

Следовательно: $$2\angle A = 80^\circ,$$ откуда $$\angle A = 40^\circ.$$

1. Сумма углов треугольника $$ABC$$ равна $$180^{\circ}$$, поэтому:

$$\angle A + \angle B = 180^{\circ} - \angle C = 180^{\circ} - 58^{\circ} = 122^{\circ}$$

2. Найдём угол $$AOB$$:

$$\angle AOB = 180^{\circ} - \frac{\angle A + \angle B}{2} = 180^{\circ} - \frac{122^{\circ}}{2} = 180^{\circ} - 61^{\circ} = 119^{\circ}$$

1. В прямоугольном треугольнике $$ABC$$ синус угла $$A$$ — это отношение катета $$BC$$ к гипотенузе $$AB$$:

$$\sin A = \frac{BC}{AB} = 0,8$$

2. Синус угла $$B$$ — это отношение катета $$AC$$ к гипотенузе $$AB$$, что равносильно косинусу угла $$A$$:

$$\sin B = \frac{AC}{AB} = \cos A$$

3. Найдём $$\cos A$$ из основного тригонометрического тождества:

$$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - 0,8^2} = \sqrt{0,36} = 0,6$$

4. Таким образом, $$\sin B = 0,6$$.

1. Найдём катет $$AC$$:

$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{10^2 - (\sqrt{19})^2} = \sqrt{100 - 19} = \sqrt{81} = 9$$

2. Найдём косинус угла $$A$$:

$$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{9}{10} = 0,9$$

1. Найдём квадрат катета $$BC$$:

$$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 30^2 - (3\sqrt{19})^2 = 900 - 9 \cdot 19$$

$$BC^2 = 900 - 171 = 729$$

2. Извлечём корень:

$$BC = \sqrt{729} = 27$$

3. Найдём синус угла $$A$$:

$$\sin A = \frac{BC}{AB} = \frac{27}{30} = \frac{9}{10} = 0,9$$

1. Найдём катет $$BC$$:

$$BC = AC \cdot \operatorname{tg} A = 6 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = 3\sqrt{5}$$

2. По теореме Пифагора найдём гипотенузу $$AB$$:

$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + (3\sqrt{5})^2} = \sqrt{36 + 9 \cdot 5} = \sqrt{36 + 45} = \sqrt{81} = 9$$

1. В прямоугольном треугольнике косинус острого угла равен отношению прилежащего катета к гипотенузе. Для угла $$B$$ прилежащим катетом является $$BC$$, а гипотенузой — $$AB$$. Запишем формулу:

$$\cos B = \frac{BC}{AB}$$

2. Выразим из этой формулы гипотенузу $$AB$$:

$$AB = \frac{BC}{\cos B}$$

3. Подставим известные значения $$BC = 10$$ и $$\cos B = \frac{2}{5}$$:

$$AB = \frac{10}{\frac{2}{5}} = 10 \cdot \frac{5}{2} = 5 \cdot 5 = 25$$

1. Синус угла $$B$$ равен отношению противолежащего катета $$AC$$ к гипотенузе $$AB$$:

$$\sin B = \frac{AC}{AB}$$

2. Найдём катет $$AC$$ по теореме Пифагора:

$$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{20^2 - (8\sqrt{6})^2} = $$$$\sqrt{400 - 64 \cdot 6} = \sqrt{400 - 384} = \sqrt{16} = 4$$

3. Вычислим синус угла $$B$$:

$$\sin B = \frac{4}{20} = 0,2$$

1. В четырёхугольник, в который можно вписать окружность, суммы длин противоположных сторон равны:

$$AB + CD = BC + AD$$

2. Подставим известные значения и выразим неизвестную сторону $$AD$$:

$$18 + 9 = 5 + AD$$

3. Выполним вычисления:

$$27 = 5 + AD$$

$$AD = 22$$

1. По свойству описанного четырёхугольника:

$$AB + CD = BC + DA$$

2. Найдём сумму:

$$AB + CD = 57 + 31 = 88$$

3. Периметр:

$$P = 2 \cdot 88 = 176$$

1. Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника: сумма его противоположных углов равна $$180^{\circ}$$.

2. Проверим, являются ли данные углы противоположными. Найдём их сумму:

$$58^{\circ} + 79^{\circ} = 137^{\circ}$$

Так как сумма не равна $$180^{\circ}$$, данные углы не являются противоположными, значит, они являются соседними.

3. Найдём два оставшихся угла. Каждый из них в паре с данным углом составляет $$180^{\circ}$$:

Первый оставшийся угол: $$180^{\circ} - 58^{\circ} = 122^{\circ}$$

Второй оставшийся угол: $$180^{\circ} - 79^{\circ} = 101^{\circ}$$

4. Сравним найденные углы и выберем меньший:

$$101^{\circ} < 122^{\circ}$$

1. Вспомним свойство четырёхугольника, вписанного в окружность: сумма его противоположных углов равна $$180^{\circ}$.

2. Проверим, являются ли данные углы противоположными. Найдём их сумму:

$$83^{\circ} + 89^{\circ} = 172^{\circ}$$

Так как сумма не равна $$180^{\circ}$$, данные углы не являются противоположными, значит, они являются соседними.

3. Найдём два оставшихся угла. Каждый из них в паре с данным углом составляет $$180^{\circ}$$. Первый оставшийся угол (противоположный углу $$83^{\circ}$$):

$$180^{\circ} - 83^{\circ} = 97^{\circ}$$

4. Второй оставшийся угол (противоположный углу $$89^{\circ}$$):

$$180^{\circ} - 89^{\circ} = 91^{\circ}$$

5. Сравним найденные углы и выберем больший:

$$97^{\circ} > 91^{\circ}$$

1. Площадь треугольника:

$$S = \frac{1}{2} \cdot 35 \cdot 9 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h$$

2. Приравняем выражения для площади:

$$35 \cdot 9 = 10 \cdot h$$

$$h = \frac{35 \cdot 9}{10} = 31,5$$

1. Найдем градусную меру дуги $$AB$$:

$$\smile AB = 360^{\circ} - 110^{\circ} - 88^{\circ} = 162^{\circ}$$

2. Вписанный угол $$ACB$$ равен половине дуги $$AB$$:

$$\angle ACB = \frac{162^{\circ}}{2} = 81^{\circ}$$