Планиметрия: задачи, связанные с углами

1. Используем свойство угла между секущими:

$$\angle ACB = \frac{1}{2} (\smile AB - \smile DE)$$

2. Найдём меру дуги $$DE$$:

$$46^{\circ} = \frac{1}{2} (130^{\circ} - \smile DE)$$

$$92^{\circ} = 130^{\circ} - \smile DE$$

$$\smile DE = 38^{\circ}$$

3. Вписанный угол $$DAE$$ равен половине дуги $$DE$$:

$$\angle DAE = \frac{1}{2} \cdot 38^{\circ} = 19^{\circ}$$

1. Проведем радиус $$OA$$ в точку касания $$A$$. Так как $$CA$$ – касательная, то:

$$\angle OAC = 90^{\circ}$$

2. В прямоугольном треугольнике $$OAC$$ найдем угол при вершине $$O$$:

$$\angle AOC = 90^{\circ} - \angle ACO = 90^{\circ} - 34^{\circ} = 56^{\circ}$$

3. Градусная мера дуги $$AB$$ равна центральному углу $$AOB$$, который совпадает с $$\angle AOC$$:

$$\smile AB = 56^{\circ}$$

1. Проведём радиус $$OA$$ в точку касания $$A$$. По свойству касательной:

$$\angle OAC = 90^{\circ}$$

2. В прямоугольном треугольнике $$OAC$$ найдём угол $$AOC$$:

$$\angle AOC = 90^{\circ} - \angle ACO = 90^{\circ} - 51^{\circ} = 39^{\circ}$$

3. Углы $$AOC$$ и $$AOD$$ смежные. Найдём $$\angle AOD$$:

$$\angle AOD = 180^{\circ} - \angle AOC = 180^{\circ} - 39^{\circ} = 141^{\circ}$$

4. Градусная мера дуги $$AD$$ равна центральному углу $$AOD$$:

$$\smile AD = 141^{\circ}$$

Пусть медиана $$CH$$ и биссектриса $$CM$$ проведены из вершины прямого угла $$C$$ треугольника $$ABC$$.

1. Пусть $$A$$ — один из острых углов. Тогда $$\angle B = 90^\circ - A.$$

2. Из геометрических свойств: $$\angle HCA = A,$$ а $$\angle ACM = 45^\circ.$$

3. Угол между медианой и биссектрисой: $$A - 45^\circ = 14^\circ.$$ Тогда $$A = 59^\circ.$$

Меньший угол: $$\angle B = 90^\circ - 59^\circ = 31^\circ.$$

1. Рассмотрим равнобедренный треугольник $$ABC$$, где:

$$AB = BC = 18$$ (боковые стороны)

$$\angle B = 30^{\circ}$$ (угол при вершине)

2. Проведём высоту $$AH$$ к стороне $$BC$$. В прямоугольном треугольнике $$ABH$$:

$$AB = 18$$ (гипотенуза)

$$\angle B = 30^{\circ}$$

$$AH$$ — катет, лежащий против угла $$30^{\circ}$$

3. По свойству прямоугольного треугольника:

$$AH = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

4. Найдём площадь:

$$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 9 = 81$$

1. Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.

2. Обозначим вписанный угол за $$x$$. Тогда центральный угол равен $$2x$$. По условию:

$$2x = x + 36^{\circ}$$

3. Решим уравнение:

$$x = 36^{\circ}$$

1. Проведем радиусы $$OA$$ и $$OB$$. Углы между радиусами и касательными равны $$90^{\circ}$$.

2. Центральный угол $$AOB$$ равен дуге $$AB$$:

$$\angle AOB = 40^{\circ}$$

3. В четырехугольнике $$OACB$$:

$$\angle ACB = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ}$$

1. Найдём угол $$DBC$$:

$$\angle DBC = \angle ABC - \angle ABD = 102^{\circ} - 56^{\circ} = 46^{\circ}$$

2. Вписанные углы $$CAD$$ и $$DBC$$ опираются на одну дугу $$CD$$, поэтому они равны:

$$\angle CAD = \angle DBC = 46^{\circ}$$

1. Вписанные углы $$CAD$$ и $$CBD$$ опираются на одну дугу $$CD$$, поэтому:

$$\angle CBD = \angle CAD = 41^{\circ}$$

2. Найдём угол $$ABD$$:

$$\angle ABD = \angle ABC - \angle CBD = 104^{\circ} - 41^{\circ} = 63^{\circ}$$

1. Вписанные углы $$CAD$$ и $$CBD$$ опираются на одну дугу $$CD$$, поэтому они равны:

$$\angle CBD = \angle CAD = 49^{\circ}$$

2. Угол $$ABC$$ равен сумме углов $$\angle ABD$$ и $$\angle CBD$$:

$$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD$$

3. Подставим значения:

$$\angle ABC = 70^{\circ} + 49^{\circ} = 119^{\circ}$$

1. Используем свойство вписанного четырёхугольника: сумма противоположных углов равна $$180^{\circ}$$.

2. Найдём угол $$BAD$$:

$$\angle BAD = 180^{\circ} - \angle BCD = 180^{\circ} - 39^{\circ} = 141^{\circ}$$