Задание 6072
Задание 6072
В треугольнике $$ABC$$ угол $$C$$ равен $$90^{\circ}$$, $$AC=6$$, $$\operatorname{tg} A=\frac{\sqrt{5}}{2}$$. Найдите $$AB$$.
1. Найдём катет $$BC$$:
$$BC = AC \cdot \operatorname{tg} A = 6 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = 3\sqrt{5}$$
2. По теореме Пифагора найдём гипотенузу $$AB$$:
$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + (3\sqrt{5})^2} = \sqrt{36 + 9 \cdot 5} = \sqrt{36 + 45} = \sqrt{81} = 9$$
Задание 6076
В треугольнике $$ABC$$ угол $$C$$ равен $$90^{\circ}$$, $$AC=10$$, $$\operatorname{tg} A=\frac{12}{5}$$. Найдите $$AB$$.
Решение:
1. В прямоугольном треугольнике тангенс острого угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. Для угла $$A$$:
$$\operatorname{tg} A = \frac{BC}{AC}$$
2. Выразим и найдём катет $$BC$$:
$$BC = AC \cdot \operatorname{tg} A = 10 \cdot \frac{12}{5} = 2 \cdot 12 = 24$$
3. По теореме Пифагора найдём гипотенузу $$AB$$:
$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{10^2 + 24^2} = \sqrt{100 + 576} = \sqrt{676} = 26$$
Задание 6075
В треугольнике $$ABC$$ угол $$C$$ равен $$90^{\circ}$$, $$AC=7$$, $$\operatorname{tg} A=\sqrt{3}$$. Найдите $$AB$$.
1. Найдём катет $$BC$$ через тангенс:
$$BC = AC \cdot \operatorname{tg} A = 7 \cdot \sqrt{3} = 7\sqrt{3}$$
2. По теореме Пифагора найдём гипотенузу $$AB$$:
$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{7^2 + (7\sqrt{3})^2} = \sqrt{49 + 49 \cdot 3} = \sqrt{49 \cdot 4} = 7 \cdot 2 = 14$$
Задание 6074
В треугольнике $$ABC$$ угол $$C$$ равен $$90^{\circ}$$, $$AC=24$$, $$\operatorname{tg} A=\frac{15}{8}$$. Найдите $$AB$$.
1. Используем определение тангенса:
$$\operatorname{tg} A = \frac{BC}{AC}$$
2. Найдём катет $$BC$$:
$$BC = AC \cdot \operatorname{tg} A = 24 \cdot \frac{15}{8} = 3 \cdot 15 = 45$$
3. По теореме Пифагора найдём гипотенузу $$AB$$:
$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{24^2 + 45^2} = \sqrt{576 + 2025} = \sqrt{2601} = 51$$
Задание 6073
В треугольнике $$ABC$$ угол $$C$$ равен $$90^{\circ}$$, $$AC=40$$, $$\operatorname{tg} A=\frac{21}{20}$$. Найдите $$AB$$.
1. Найдём катет $$BC$$:
$$BC = AC \cdot \operatorname{tg} A = 40 \cdot \frac{21}{20} = 2 \cdot 21 = 42$$
2. По теореме Пифагора найдём гипотенузу $$AB$$:
$$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{40^2 + 42^2} = \sqrt{1600 + 1764} = \sqrt{3364} = 58$$