Задание 4634
Задание 4634
Решите уравнение: $$(x + 2)^4 - 4(x + 2)^2 - 5 = 0$$
1) Сделаем замену: $$(x + 2)^2 = t.$$ Тогда уравнение примет вид $$t^2 - 4t - 5 = 0.$$
2) Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = (-4)^2 - 4\cdot 1\cdot(-5) = 16 + 20 = 36,$$ $$t_{1,2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{4 \pm 6}{2}.$$ Получаем $$t_1 = 5,\quad t_2 = -1.$$ Так как $$t = (x + 2)^2 \ge 0,$$ то берём только $$t = 5.$$
3) Возвращаемся к переменной $$x$$: $$(x + 2)^2 = 5,$$ $$x + 2 = \pm \sqrt{5},$$ $$x = -2 \pm \sqrt{5}.$$
Аналоги к этому заданию:
1) Сделаем замену: $$x^2 = t.$$ Тогда: $$t^2 - 5t + 4 = 0.$$
2) Дискриминант: $$D = (-5)^2 - 4\cdot 1\cdot 4 = 25 - 16 = 9,$$ $$t_{1,2} = \dfrac{5 \pm 3}{2}.$$ Получаем: $$t_1 = 4,\quad t_2 = 1.$$
3) Теперь решим два уравнения:
1) $$x^2 = 4,$$ $$x = \pm 2.$$
2) $$x^2 = 1,$$ $$x = \pm 1.$$
Задание 1726
Решите уравнение: $$(x - 4)^4 - 4(x - 4)^2 - 21 = 0$$
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Замена: $$(x - 4)^2 = t.$$ Получаем квадратное уравнение $$t^2 - 4t - 21 = 0.$$
2) Дискриминант: $$D = (-4)^2 - 4\cdot 1\cdot(-21) = 16 + 84 = 100,$$ $$t_{1,2} = \dfrac{4 \pm 10}{2}.$$ Отсюда: $$t_1 = 7,\quad t_2 = -3.$$ Так как $$t = (x - 4)^2 \ge 0,$$ берём $$t = 7.$$
3) Возвращаемся к $$x$$: $$(x - 4)^2 = 7,$$ $$x - 4 = \pm \sqrt{7},$$ $$x = 4 \pm \sqrt{7}.$$
Задание 1735
Решите уравнение $$ (x - 2)^4 + 3(x - 2)^2 - 10 = 0 $$
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 11811. Решите уравнение: $$(x - 2)^4 + 3(x - 2)^2 - 10 = 0.$$
1) Замена: $$(x - 2)^2 = t.$$ Тогда $$t^2 + 3t - 10 = 0.$$
2) Дискриминант: $$D = 3^2 - 4\cdot 1\cdot(-10) = 9 + 40 = 49,$$ $$t_{1,2} = \dfrac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} = \dfrac{-3 \pm 7}{2}.$$ Получаем $$t_1 = 2,\quad t_2 = -5.$$ Так как $$t = (x - 2)^2 \ge 0,$$ берём $$t = 2.$$
3) Возвращаемся к $$x$$: $$(x - 2)^2 = 2,$$ $$x - 2 = \pm \sqrt{2},$$ $$x = 2 \pm \sqrt{2}.$$
Задание 867
Решите уравнение: $$(x + 2)^4 + (x + 2)^2 - 12 = 0$$
1) Замена: $$(x + 2)^2 = t.$$ Получаем $$t^2 + t - 12 = 0.$$
2) Дискриминант: $$D = 1^2 - 4\cdot 1\cdot(-12) = 1 + 48 = 49,$$ $$t_{1,2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{49}}{2} = \dfrac{-1 \pm 7}{2}.$$ Тогда $$t_1 = 3,\quad t_2 = -4.$$ Так как $$t = (x + 2)^2 \ge 0,$$ берём $$t = 3.$$
3) Возвращаемся к $$x$$: $$(x + 2)^2 = 3,$$ $$x + 2 = \pm \sqrt{3},$$ $$x = -2 \pm \sqrt{3}.$$
Задание 881
Решите уравнение: $$(x - 3)^4 - 3(x - 3)^2 - 10 = 0$$
1) Сделаем замену: $$(x - 3)^2 = t.$$ Тогда уравнение принимает вид $$t^2 - 3t - 10 = 0.$$
2) Решим через дискриминант: $$D = (-3)^2 - 4\cdot 1\cdot(-10) = 9 + 40 = 49,$$ $$t_{1,2} = \dfrac{3 \pm 7}{2}.$$ Получаем: $$t_1 = 5,\quad t_2 = -2.$$ Так как $$t = (x - 3)^2 \ge 0,$$ берём только $$t = 5.$$
3) Возвращаемся к переменной $$x$$: $$(x - 3)^2 = 5,$$ $$x - 3 = \pm \sqrt{5},$$ $$x = 3 \pm \sqrt{5}.$$