Треугольники
Задание 1191
Найдите отношение двух сторон треугольника, если его медиана, выходящая из их общей вершины, образует с этими сторонами углы в $$30^{\circ}$$ и $$90^{\circ}$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
На продолжении AD за точку D отложим DE=AD, тогда ABEC - параллелограмм (по признаку) $$\Rightarrow BE||AC;$$
$$BE=AC$$ и $$\angle EAC=\angle BEA=90^{\circ}$$ (как накрест лежащие), $$\angle BAE=30^{\circ}\Rightarrow$$
$$\Rightarrow BE=\frac{1}{2}AB\Rightarrow AC=\frac{1}{2}AB\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}$$
Задание 3794
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длины $$15$$ и $$20$$ см.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1)$$\frac{AC}{CB}=\frac{AL}{LB}=\frac{3}{4}$$ по свойству биссектрисы. Тогда, пусть AC=3x ; CB=4x
2)Из треугольника ABC по теореме Пифагора: $$AC^{2}+CB^{2}=AB^{2} \Leftrightarrow$$$$(3x)^{2}+(4x)^{2}=35^{2}$$. Отсюда x=7. Тогда AC=21 ; CB = 28.
3)$$S_{ABC}=\frac{1}{2}AC*CB=\frac{1}{2}*21*28=294$$
Задание 4395
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если длина гипотенузы равна $$2\sqrt{13}$$ см, а длина медианы, проведенной из вершины большего острого угла равна $$5$$ см.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
|
Пусть $$AC=x$$; $$CB=2y$$ Из $$\bigtriangleup ACH$$ и $$\bigtriangleup ACB$$: $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=5^{2}\\x^{2}-(2y)^{2}=(2\sqrt{13})^{2}\end{matrix}\right.$$ $$4y^{2}-y^{2}=4\cdot13-25$$ $$3y^{2}=27\Rightarrow y^{2}=9\Rightarrow y=3$$ $$x^{2}+9=25\Rightarrow x=4$$ $$S=\frac{1}{2}AC\cdot CB=\frac{1}{2}\cdot x\cdot 2y=xy=3\cdot 4=12$$ |
Задание 2855
Найдите площадь равнобедренного треугольника, если высота, опущенная на основание равна $$10$$ см, а высота, опущенная на боковую сторону равна $$12$$ см.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Опустим высоту BH и высоту AM=12. Так как треугольник равнобедренный, то AH=HC=x. Пусть BC=y. Тогда из треугольника BHC: $$BH^{2}+HC^{2}=BC^{2}$$.
2) другой стороны из площади треугольника через его сторону и проведенную к ней высоту получим : $$BH*AC=AM*BC$$. Тогда: $$\left\{\begin{matrix}10^{2}+x^{2}=y^{2}\\10*2x=12*y\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}10^{2}+x^{2}=(\frac{5x}{3})^{2}\\ y=\frac{5x}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$900+9x^{2}=25x^{2}\Rightarrow$$ $$x=7,5$$
3) Площадь треугольника в таком случае: $$S=\frac{1}{2}AC*BH=\frac{1}{2}*2*7,5*10=75$$
Задание 3694
Окружность пересекает стороны $$AB$$ и $$AC$$ треугольника $$ABC$$ в точках $$K$$ и $$P$$ соответственно и проходит через вершины $$B$$ и $$C$$. Найдите длину отрезка $$KP$$, если $$AP=18$$, а сторона $$AC$$ в $$1,2$$ раза больше стороны $$BC$$ .
1) Пусть $$BC=x$$ $$\Rightarrow$$ $$AC=1,2x$$;
2) $$BKPC$$ - вписан $$\Rightarrow$$ $$\angle KPC+ \angle KBC=180^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle APK=\angle ABC$$. Аналогично $$\angle AKP=\angle PCB$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup APK\sim \bigtriangleup ABC$$;
3) из п. 2: $$\frac{AK}{AC}=\frac{KP}{BC}$$ $$\Rightarrow$$ $$KP=\frac{AK\cdot BC}{AC}=\frac{18\cdot x}{1.2x}=15$$
Задание 1838
Окружность пересекает стороны $$AB$$ и $$AC$$ треугольника $$ABC$$ в точках $$K$$ и $$P$$ соответственно и проходит через вершины $$B$$ и $$C$$. Найдите длину отрезка $$KP$$, если $$AP=30$$, а сторона $$BC$$ в $$1,2$$ раза меньше стороны $$AB$$ .
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть $$BC=x$$ $$\Rightarrow$$ $$AB=1,2x$$
2) $$\angle B+\angle KPC=180^{\circ}$$ ($$BKPC$$ - вписан), $$\angle KPC+\angle APK=180^{\circ}$$ (смежные) $$\Rightarrow$$ $$\angle APK=\angle B$$; $$\angle A$$ - общий $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup APK\sim\bigtriangleup ABC$$
3) $$\frac{KP}{BC}=\frac{AP}{AB}$$ $$\Rightarrow$$ $$KP=\frac{BC\cdot AP}{AB}=\frac{x\cdot18}{1,2x}=15$$
Задание 4441
Окружность с центром $$O$$ вписана в прямоугольный треугольник $$ABC$$. Она касается гипотенузы $$AB$$ в точке $$M$$, причем $$AM=12$$ и $$BM=8$$. Найдите площадь треугольника $$AOB$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Решение временно отсутствует, можете найти его в моем видео-разборе ( вначале варианта )
Задание 4092
Основание равнобедренного треугольника равно $$12$$ см, а высота, проведенная к боковой стороне, равна $$9,6$$ см. Найдите периметр треугольника
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Проведем $$BM\perp AC$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup BMC\sim\bigtriangleup AHC$$ (прямоугольные; $$\angle C$$ - общий)
2) $$MC=\frac{1}{2}AC=6$$; $$HC=\sqrt{12^{2}-9,6^{2}}=7,2$$;
3) $$\frac{BM}{AH}=\frac{MC}{HC}$$ $$\Rightarrow$$ $$BM=\frac{AH\cdot MC}{HC}=\frac{9,6\cdot6}{7,2}=8$$
4)$$BC=\sqrt{MC^{2}+BM^{2}}=10=AB$$
$$P_{ABC}=10+10+12=32$$
Задание 3242
Площадь равнобедренного треугольника с острым углом при вершине равна $$48$$, а боковая сторона равна $$10$$. Найдите высоту, опущенную на основание.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) $$S=\frac{1}{2}AB*BC *\sin B\Rightarrow$$ $$\sin B=\frac{2S}{AB^{2}}=$$$$\frac{2*48}{100}=0,96\Rightarrow$$ $$\cos B=\sqrt{1-0,96^{2}}=0,28$$
2) $$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}-2AB*BC\cos B}=$$$$\sqrt{10^{2}+10^{2}-2*10*10*0,28}=12$$$$\Rightarrow HC=6$$
3) из $$\Delta BHC$$: $$BH=\sqrt{BC^{2}-HC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8$$
Задание 2574
Прямая $$AD$$, перпендикулярная медиане $$BM$$ треугольника $$ABC$$, делит её пополам. Найдите сторону $$AB$$, если $$AC=10$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2687
Прямая $$AD$$, перпендикулярная медиане $$BM$$ треугольника $$ABC$$, делит её пополам. Найдите сторону $$AC$$, если сторона $$AB$$ равна $$4$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 1935
Прямая пересекает стороны $$AB$$ и $$BC$$ треугольника $$ABC$$ в точках $$K$$ и $$N$$ соответственно. Известно, что $$AB=CN=16$$, $$BC=20$$, $$AC=28$$, $$AK=11$$. Найдите длину отрезка $$KN$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
