ОГЭ / Задачи с кругами и окружностями

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Поскольку на окружности дуга KN определяет угол KON, равный 180°, то на угол КОМ, при вычитании из него градусной меры дуги MN, равной 124°, остаётся всего градусная мера в:

$$180° - 124° = 56°$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) То что FGED - четверть окружности с центром F и радиусом FD=FG, дает то, что FD ⟂ FG, а значит FD - высота в ∆ADB (она же медиана в равностороннем треугольнике).

2) Если площадь четверти круга равна $$9\pi$$, то площадь всего круга равна $$4\cdot9\pi = 36\pi$$

Но площадь круга $$S = πR² = 36π$$, откуда $$R² = 36$$ и $$FD = R = 6$$

3) высота в равностороннем треугольнике $$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

(если не помним, то из ∆DFB - прямоугольный. По теореме Пифагора:

$$FD² = DB² - FB², FB=\frac{DB}{2}$$

$$FD² = DB² - (\frac{DB}{2})² = \frac{3DB²}{4}$$ и $$FD = \frac{DB\sqrt{3}}{2}$$)

Таким образом $$DB = \frac{2FD}{\sqrt{3}} = 2\cdot\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$$

4) Так как ∆BEC равносторонний, то ∠EBC = 60˚ => ∠ABE = 180˚ - ∠EBC = 120˚ (смежный угол)

5) Рассмотрим ∆FBE: $$FE = 6; FB = \frac{DB}{2} = 2\sqrt{3}$$ и $$∠FBE = 120˚$$

По теореме косинусов $$FE² = FB² + BE² - 2FB\cdot BE\cdot \cos(∠FBE)$$

$$36 = 12 + BE² - 2\cdot2\sqrt{3}\cdot(-0,5)\cdot BE$$

$$BE² + 2\sqrt{3}BE - 24 = 0$$

$$D = 12 + 4\cdot24 = 108 = 3\cdot36$$

$$ВЕ = \frac{-2\sqrt{3} + 6\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$ (второй корень отрицательный и не подходит)

Получили BE = FB

6) Рассмотрим ∆DBF и ∆DBE: DB=DB (общая), FB=BE, и ∠FBD = ∠DBE = 60˚ => ∆DBF = ∆DBE и тогда DE = DF = 6

Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника составляет 180 градусов, следовательно, больший из оставшихся будет равен $$180-58=122^{\circ}$$ (второй из оставшихся $$180-82=98^{\circ}$$)

   1)OA=OC (радиусы), AB - перпендикуляр (так как расстояние), тогда треугольники AOB и OBC прямоугольные и равные по катету и гипотенузе

   2)AB=BC=0,5AC=36, тогда по теореме Пифагора из треугольника AOB: $$AO=\sqrt{36^{2}+27^{2}}=45$$, следовательно, диаметр составит $$2*45=90$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Проведем радиусы в точки касания и получим два равных прямоугольных треугольника. Значит ОА - биссектриса угла А. Значит она делит угол пополам, и получаем в треугольнике угол в 30 градусов. А катет (в нашем случае это радиус окружности), лежащий напротив угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы, то есть половине ОА или 3

$$R = OB$$

По теореме Пифагора:

$$ОВ = \sqrt{АО^2 - АВ^2}$$

$$ОВ = \sqrt{97^2-65^2}=\sqrt{5184}=72$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1. $$\angle AOB=180-\angle C=84\Rightarrow$$ $$\angle OAB+\angle ABO=96$$
2. $$OA=OB$$(радиусы)$$\Rightarrow$$ $$\angle ABO=\frac{96}{2}=48$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\angle ABC$$ - угол между хордой и касательной. Он равен половине величины отсекаемой дуги, то есть $$33^{\circ}.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\smile AB=180=\smile AN+\smile NB$$

$$\smile AN=2\angle NBA=96$$

$$\smile NB=180-96=84$$

$$\angle NMB=\frac{\smile NB}{2}=\frac{84}{2}=42$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Так как угол, опирающийся на малую дугу равен 8 градусам, то оставшийся угол равен $$360-8=352^{\circ}$$. В таком случае мы можем составить пропорцию (зависимость между величиной угла и длинной дуги). Пусть х - длина большей дуги, тогда:

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\Delta AOD$$ и $$\Delta COB$$ - равносторонние $$\Rightarrow\angle AOD=\angle COB=60^{\circ}\Rightarrow\cup AD=360^{\circ}-60^{\circ}=300^{\circ}$$.

$$\cup CB=60^{\circ}\Rightarrow\angle AMD=\frac{300^{\circ}}{2}=150^{\circ}, \angle CKB=\frac{60^{\circ}}{2}=30^{\circ}$$

$$150\cdot30=4500$$