(C2) Текстовые задачи
Задание 3982
На строительстве стены первый каменщик работал $$5$$ дней один. Затем к нему присоединился второй, и они вместе закончили работу через $$4$$ дня. Известно, что первому каменщику потребовалось бы на выполнение этой работы на $$5$$ дней больше, чем второму. За сколько дней может выстроить эту стену первый каменщик, работая отдельно?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Пусть производительность первого х (частей стены в день), а производительность второго - y (частей стены в день). Всю работу (стену) примем за 1. Тогда время, за которое первый сделает стену : $$\frac{1}{x}$$, а второй: $$\frac{1}{y}$$. Это время различается на 5 дней, тогда: $$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=5$$. Первый, работая 5 дней выполнил 5х стены, далее, работая вместе 4 дня, они выполнили 4(x+y) стены. В результате вся стена была построена, то есть: $$5x+4(x+y)=1$$: $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=5\\ 5x+4(x+y)=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$ \left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=5\\ y=\frac{1-9x}{4}\end{matrix}\right.$$ Подставим в первое вместо y полученное выражение: $$\frac{1}{x}-\frac{1}{\frac{1-9x}{4}}=5\Leftrightarrow $$$$\frac{1}{x}-\frac{4}{1-9x}=5\Leftrightarrow $$$$1-9x-4x=5(x-9x^{2})\Leftrightarrow $$$$45x^{2}-18x+1=0$$ Решаем данное уравнение получаем $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=\frac{1}{3}\\ x_{2}=\frac{1}{15}\end{matrix}\right.$$ $$x_{1}$$ не подходит, так как в таком случае стена строилась бы за 3 дня всего, а по условию она больше 5 дней строится первым. В таком случае получаем, что $$t=\frac{1}{\frac{1}{15}}=15$$
Задание 4600
Найдите целое число, если из двух следующих утверждений верно только одно:
1) $$a<34$$;
2) $$a<35$$.
Проверим данные утверждения. Если верно утверждение под номером 1, то мы можем взять любой целое меньше 34, но тогда оно будет меньше и 35, и не выполняется условие верности только одного утверждения. Если же верно второе, то мы можем взять такое число, которое будет строго меньше, чем 35, но не больше 34, собственно, это число и есть 34 (первое условие не выполняется в силу строгости неравенства)
Задание 4277
Насос может выкачать из бассейна $$\frac{2}{3}$$ воды за $$7,5$$ мин. Проработав $$9$$ мин, насос остановился. Найдите вместимость бассейна, если после остановки насоса в бассейне осталось еще $$20$$ м³ воды.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Пусть х - производительность насоса; V - объем бассейна. $$\frac{\frac{2}{3}V}{x}=7,5$$ $$\Rightarrow$$ $$x=\frac{2V}{3\cdot7,5}=$$ $$=\frac{2V}{\frac{3\cdot75}{10}}=\frac{2\cdot10V}{3\cdot75}=\frac{4V}{45}$$ За 9 минут: $$\frac{4V}{45}\cdot9=\frac{4V}{5}$$ $$\Rightarrow$$ осталось: $$V-\frac{4V}{5}=\frac{V}{5}=20$$ $$\Rightarrow$$ $$V=100$$
Задание 3958
Один мастер может выполнить задание на $$15$$ дней быстрее, чем другой. После того, как первый мастер проработал $$10$$ дней, его сменил другой и закончил работу за $$30$$ дней. За сколько дней могут выполнить всю работу два мастера, работая одновременно?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3313
Один рабочий должен был изготовить $$36$$ деталей, второй – $$20$$ деталей. Первый делал в день на $$2$$ детали больше, чем второй, и затратил на изготовление своего заказа на $$1$$ день меньше, чем второй. Сколько деталей в день делал каждый рабочий?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Пусть x - количество деталей в день у второго рабочего, тогда x+2 - y первого . Время заказа второго $$t_{2}=\frac{20}{x}$$ , первого $$t_{1}=\frac{36}{x+2}$$. Тогда:
$$t_{2}-t_{1}=1\Leftrightarrow$$ $$\frac{20}{x}-\frac{36}{x+2}=1\Leftrightarrow$$ $$20x+40-36x=x^{2}+2x\Leftrightarrow$$$$x^{2}+18x-40=0$$
$$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-18\\x_{1}x_{2}=-40\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}=-20\\x_{2}=2\end{matrix}\right.$$
Т.е. второй делал 2 детали, а первый 4
Задание 4006
Один раствор содержит $$20 \%$$ (по объему) соли, а второй – $$70 \%$$ соли. Сколько литров первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить $$100$$ л $$50 \%$$ - го соляного раствора?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Пусть масса первого раствора х, тогда соли в нем 0,2x. Масса второго раствора 100-x (так как мы в результате получили 100 литров третьего), а соли в нем 0,7(100-х). Третий же раствор содержит 0,5*100=50 литров соли. Данный объем получается из слияния объемов соли первого и второго растворов: $$0,2x+0,7(100-x)=50\Leftrightarrow $$$$0,2x+70-0,7x=50\Leftrightarrow $$$$-0,5x=-20\Leftrightarrow $$$$x=40$$ - объем первого, тогда объем второго 100-40=60
Задание 3167
Один сплав содержит $$20 \%$$, а другой – $$30 \%$$ олова. Сколько килограммов первого и второго сплавов нужно взять, чтобы получить $$10$$ кг $$27 \%$$ - го сплава олова?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Пусть x(кг ) – масса первого сплава, тогда 0,2x - масса олова в нем , 10-x - второго сплава, 0,3(10-x) – олова в нем. Тогда:
$$0,2x+0,3(10-x)=0,27*10\Leftrightarrow$$$$0,2x+3-0,3x=2,7\Leftrightarrow$$$$-0,1x=-0,3\Rightarrow$$$$x=3$$(кг) первый, тогда 10-3=7 кг – второй
Задание 4094
Один экскаватор может вырыть котлован на $$10$$ ч быстрее, чем другой. После того, как первый экскаватор проработал $$10$$ ч, его сменил второй экскаватор и закончил работу за $$15$$ ч. За Сколько часов могли вырыть котлован оба экскаватора, работая одновременно.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Пусть х - производительность 1го в час, у - второго. Пусть 1 - объем котлована: $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=10\\10x+15y=1\end{matrix}\right.$$; $$x=\frac{1-15y}{10}$$; $$\frac{1}{y}-\frac{10}{1-15y}=10$$; $$1-15y-10y=10y-150y^{2}$$; $$150y^{2}+35y+1=0$$; $$D=1225-600=625$$; $$y_{1}=\frac{35-25}{300}=\frac{1}{30}$$ $$\Rightarrow$$ $$x_{1}\frac{1-15\cdot\frac{1}{30}}{10}=\frac{1}{20}$$; $$y_{2}=\frac{35+25}{300}=\frac{1}{5}$$ $$\Rightarrow$$ $$x_{2}\frac{1-15\cdot\frac{1}{5}}{10}<0$$.
Время общее: $$\frac{1}{\frac{1}{20}+\frac{1}{30}}=\frac{1}{\frac{5}{60}}=\frac{60}{5}=12$$
Задание 3429
Одновременно из пунктов $$A$$ и $$C$$ в пункт $$B$$ отправляются два туриста. Через $$4$$ часа они прибыли в пункт $$B$$. Второй турист каждый километр проходил на $$3$$ минуты быстрее первого, так как путь от $$C$$ до $$B$$ на $$4$$ км длиннее пути от $$A$$ до $$B$$. Найдите скорость первого туриста.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Пусть x км –путь , тогда x+4 км-CB. Пусть y км\ч –скорость первого, z км\ч – скорость второго: $$\left\{\begin{matrix}\frac{x+4}{z}=4 & & \\\frac{x}{y}=4& & \\\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=\frac{3}{60} & &\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}z=\frac{x+4}{4} & & \\y=\frac{x}{4} & & \\\frac{4}{x}-\frac{4}{x+4}=\frac{1}{20} & &\end{matrix}\right.$$ $$\frac{4x+16-4x}{x^{2}+4x}=\frac{1}{20}\Leftrightarrow$$ $$\frac{16}{x^{2}+4x}=\frac{1}{20}\Leftrightarrow$$ $$x^{2}+4x-320=0$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-4 & & \\x_{1}x_{2}=-320& &\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x_{1}=-20 & & \\x_{2}=16& &\end{matrix}\right.$$ $$y=\frac{16}{4}=4$$
Задание 4617
От пристани $$A$$ к пристани $$B$$, расстояние между которыми равно $$70$$ км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через $$1$$ час после этого следом за ним, со скоростью на $$8$$ км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт $$B$$ оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.
Пусть х км/ч - скорость первого, тогда х+8 км/ч - скорость второго. Время первого $$t_{1}=\frac{70}{x}$$ часов, время второго $$t_{2}=\frac{70}{x+8}$$ часов. При этом первый плыл на час дольше, тогда:
$$t_{1}-t_{2}=1\Leftrightarrow$$$$\frac{70}{x}-\frac{70}{x+8}=1|*(x^{2}+64)\Leftrightarrow$$$$70x+560-70x=x^{2}+8x\Leftrightarrow$$$$x^{2}+8x-560=0\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-8\\x_{1}*x_{2}=-560\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left[\begin{matrix}x_{1}=-28\\x_{2}=20\end{matrix}\right.$$
Скорость не может быть отрицательной, следовательно, она составляла 20 км/ч
Задание 2025
Первая труба пропускает на $$8$$ литров воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает первая труба, если резервуар объёмом $$180$$ литров она заполняет на $$8$$ минут дольше, чем вторая труба?
Задание 4587
Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью $$55$$ км/ч, а вторую половину – со скоростью $$70$$ км/ч. Найдите среднюю скорость (в км/ч) автомобиля на протяжении всего пути.
Пусть 2у км - длина всей трассы, тогда время на первую половину $$t_{1}=\frac{y}{55}$$ часов, а время на вторую $$t_{2}=\frac{y}{70}$$ часов, тогда общее время $$t=\frac{y}{55}+\frac{y}{70}=\frac{14y+11y}{5*11*14}=\frac{5y}{11*14}$$ часов. Следовательно, средняя скорость составит: $$\frac{2y}{\frac{5y}{11*14}}=61,6$$ км/ч
Задание 4357
Первые $$150$$ км автомобиль проехал с некоторой скоростью, а затем оставшееся расстояние в $$1,6$$ раз больше того, что проехал, преодолел со скоростью на $$4 \%$$ меньшей. С какой скоростью он ехал сначала, если средняя скорость автомобиля на всем пути составила $$48,75$$ км/час?
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
150 - 1ая часть пути
$$150\cdot1,6=240$$ - 2ая часть
$$\frac{150}{a}-t_{2}$$
$$\frac{240}{0,96a}-t_{2}$$
$$v_{cp}=\frac{150+240}{\frac{150}{a}+\frac{250}{a}}=48,75$$
$$\frac{390\cdot a}{400}=48,75$$ $$\Leftrightarrow$$ $$a=50$$
Задание 4588
Первые $$300$$ км автомобиль ехал со скоростью $$60$$ км/ч, следующие $$300$$ км — со скоростью $$100$$ км/ч, а затем $$300$$ км — со скоростью $$75$$ км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути. Ответ дайте в км/ч.
Время, потраченное на первые 300 км: $$\frac{300}{60}=5$$ часов На следующие 300: $$\frac{300}{100}=3$$ часа На последние 300: $$\frac{300}{75}=4$$ часа Итого пройдено 900 км, а потрачено 12 часов, следовательно, средняя скорость составляет: $$\frac{900}{12}=75$$ км/ч