Skip to main content
Темы

(C2) Текстовые задачи

Задание 4116

Имеются два сплава золота и серебра. В одном сплаве количество этих металлов находится в отношении $$3 : 5$$, а в другом – в отношении $$1 : 3$$. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить $$20$$ кг нового сплава, в котором золото и серебро находились бы в отношении $$3 : 7$$?

Ответ: 8,12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть х - масса 1го $$\Rightarrow$$ $$\frac{3}{8}x$$ - золота, $$\frac{5}{8}x$$ - серебро. Пусть $$20-x$$ масса 2го  $$\Rightarrow$$ $$\frac{1}{4}(20-x)$$ - золота, $$\frac{3}{4}(20-x)$$ - серебро.

Всего золота: $$\frac{3}{8}x+\frac{1}{4}(20-x)=$$ $$\frac{3}{8}x+5-\frac{7}{8}x=\frac{1}{8}x+5$$

Всего серебра: $$\frac{5}{8}x+\frac{3}{4}(20-x)=$$ $$\frac{5}{8}x+15-\frac{6}{8}x=15-\frac{1}{8}x$$

$$\frac{\frac{1}{8}x+5}{15-\frac{1}{8}x}=\frac{3}{7}$$; $$\frac{7}{8}x+35=45-\frac{3}{8}x$$; $$\frac{10x}{8}=10$$; $$x=8$$ - первый

$$20-8=12$$ - второй

Задание 3886

К раствору, содержащему $$40$$ г соли, добавили $$200$$ г воды, после чего концентрация уменьшилась на $$10 \%$$. Сколько воды содержал раствор и какова была его концентрация?

Ответ: 160 грамм и 20%
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть х - масса начального раствора в граммах. Тогда его концентрация составляет $$\frac{40}{x}*100$$ в процентах. Далее масса увеличивается на 200 грамм, то есть составляется $$x+200$$. Тогда концентрация нового раствора $$\frac{40}{x+200}*100$$ в процентах. $$\frac{40}{x}*100-\frac{40}{x+200}*100=10 \Leftrightarrow$$ $$\frac{40}{x}-\frac{40}{x+200}=0,1 \Leftrightarrow$$ $$10*\frac{40(x+200)-10x}{x(x+200)}=\frac{x^{2}+200x}{x(x+200)} \Leftrightarrow$$ $$x^{2}+200x-80000=0$$ По теореме Виета: $$\left [\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=-200\\ x_{1}*x_{2}=-80000\end{matrix}\right.\Leftrightarrow $$$$\left [ \begin{matrix}x_{1}=-400\\ x_{2}=200\end{matrix}\right.$$ В таком случае масса первоначального раствора составляла 200 грамм, тогда его концентрация : $$\frac{40}{200}*100=20$$ процентов, масса воды в нем: $$200-40=160$$ грамм

Задание 4501

Каждый из двух рабочих одинаковой квалификации может выполнить заказ за $$16$$ часов. Через $$2$$ часа после того, как один из них приступил к выполнению заказа, к нему присоединился второй рабочий, и работу над заказом они довели до конца уже вместе. Сколько часов потребовалось на выполнение всего заказа?

Ответ: 9
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть объем заказа 1. $$v_{1}=v_{2}=\frac{1}{16}$$ Пусть вместе работали х часов. $$2\cdot \frac{1}{16}+x(\frac{1}{16}+\frac{1}{16})=1$$ $$\frac{x}{8}=\frac{7}{8}\Rightarrow x=7$$ В итоге общая работа составила : $$7+2=9$$ часов

Задание 2809

Катер проходит $$96$$ км вниз по реке от $$A$$ до $$B$$ и обратно за $$14$$ ч. Одновременно с катером из $$A$$ отправился плот. На пути обратно катер встретил плот на расстоянии $$24$$ км от $$A$$. Найдите скорость катера в стоячей воде и скорость течения

Ответ: 14 и 2 км/ч
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 4621

Катер прошёл от одной пристани до другой, расстояние между которыми по реке равно $$48$$ км, сделал стоянку на $$20$$ мин и вернулся обратно через $$5 \frac{1}{3}$$ часа после начала поездки. Найдите скорость течения реки, если известно, что скорость катера в стоячей воде равна $$20$$ км/ч.

Ответ: 4 км/ч.
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть х км/ч - скорость течения реки, тогда время по течению $$t_{1}=\frac{48}{20+x}$$ часов, время против течения $$t_{2}=\frac{48}{20-x}$$ часов. Время движения за вычетом времени стоянки составляет: $$5\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=5$$ часов. Следовательно: $$\frac{48}{20+x}+\frac{48}{20-x}=5|*(20-x)(20+x)\Leftrightarrow$$$$48*20-48x+48*20+48x=5(400-x^{2})\Leftrightarrow$$$$384=400-x^{2}\Leftrightarrow$$$$x^{2}=16\Leftrightarrow$$$$x=\pm 4$$, но скорость отрицательной быть не может, следовательно, скорость течения составляет 4 км/ч.

Задание 2136

Костя и Руслан выполняют одинаковый тест. Костя отвечает в час на $$19$$ вопросов теста, а Руслан – на $$20$$. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Костя закончил свой тест позже Руслана на $$9$$ минут. Сколько вопросов содержит тест?

Ответ: 57

Задание 4599

Кролик утверждает, что вчера Винни-Пух съел не менее $$9$$ баночек мёда, Пятачок — что не менее $$8$$ баночек, ослик Иа — что не менее $$7$$. Сколько баночек мёда съел вчера Винни-Пух, если из трех этих утверждений истинны ровно два утверждения?

Ответ: 7
Скрыть

Пусть верно утверждение, что не менее 9, но тогда выполняется утверждения и не менее 8 и 7, но нарушается утверждения истинности одного. Пусть верно утверждения, что не менее 8, тогда так же выполняется, что не менее 7, и нарушается истинность только одного из трех. Получаем, что истинно третье утверждение, и не должно выполняться второе и первое, то есть должно быть не менее 7, но менее 8 баночек. Получаем 7 штук.

Задание 2955

Мастеру на выполнение заказа потребуется на $$5$$ дней меньше, чем его ученику, но при совместной работе они выполнят заказ на $$4$$ дня быстрее, чем мастер, работающий в одиночку. За сколько дней выполнит заказ мастер, работая в одиночку?

Ответ: 10
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Пусть х (частей захода) –производительность мастера в день, у - ученика, 1 - весь заказ, тогда : $$\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=5$$ (разница в 5 дней на весь заказ) и $$\frac{1}{x}-\frac{1}{x+y}=4$$ (на 4 дня вместе быстрее, чем один мастер)

     $$\left\{\begin{matrix}\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=5\\\frac{1}{x}-\frac{1}{x+y}=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x-y=5xy\\x+y-x=4x(x+y)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$

     Сложим первое и второе: $$x=5xy+4x^{2}+4xy\Leftrightarrow$$ $$9xy+4x^{2}-x=0\Leftrightarrow$$ $$x(9y+4x-1)=0$$. Т.е. x-производительность, то $$x\neq 0$$ , следовательно, $$9y+4x-1=0\Rightarrow$$ $$y=\frac{1-4x}{9}$$. Подставим в первое:

     $$\frac{9}{1-4x}-\frac{1}{x}=5\Leftrightarrow$$ $$\frac{9x-1+4x}{x-4x^{2}}=5\Leftrightarrow$$ $$13x-1=5x-20x^{2}\Leftrightarrow$$ $$20x^{2}+8x-1=0$$

     $$D=64+80=144\Rightarrow$$ $$x_{1}=\frac{-8+12}{2*20}=\frac{1}{10}$$; $$x_{2}<0\Rightarrow$$ мастер выполнит заказ за $$\frac{1}{\frac{1}{10}}=10$$ дней.

Задание 4545

Мимо наблюдателя поезд проходит за $$10$$ секунд, а мимо моста длиной $$400$$ метров - за $$30$$ секунд. Считается, что поезд проходит мимо моста начиная с того момента, когда локомотив въезжает на мост, и кончая моментом, когда последний вагон покидает мост. Определите длину и скорость поезда.

Ответ: 0,2 км и 72 км/ч
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть х - длина поезда в км; у - скорость поезда в км/ч.

1) $$\frac{x}{y}=\frac{10}{3600}$$ час - 3600 секунд $$\Rightarrow$$ 10 секунд=$$\frac{10}{3600}$$ часа
2) $$\frac{0,4+x}{y}=\frac{30}{3600}$$ передний вагон поезда проходит длину моста и длину поезда

из (1) у=360х подставим во (2):

$$\frac{0,4+x}{360x}=\frac{1}{120}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$48+120x=360x$$ $$\Leftrightarrow$$ $$240x=48$$ $$\Leftrightarrow$$ $$x=0,2$$ $$\Rightarrow$$ $$y=360\cdot 0,2=72$$

Задание 4624

Моторная лодка прошла $$36$$ км по течению реки и вернулась обратно, потратив на весь путь $$5$$ часов. Скорость течения реки равна $$3$$ км/ч. Найдите скорость лодки в неподвижной воде.

Ответ: 15 км/ч.
Скрыть

Пусть х км/ч - собственная скорость лодки, тогда х+3 км/ч - скорость лодки по течению и $$t_{1}=\frac{36}{x+3}$$ часов - время лодки по течению; х-3 км/ч - скорость лодки против течения и $$t_{2}=\frac{36}{x-3}$$ часов - время против течения. Суммарное время движения составляет 5 часов, то есть: $$t_{1}+t_{2}=5$$, получаем:

$$\frac{36}{x+3}+\frac{36}{x-3}=5|*(x-3)(x+3)\Leftrightarrow$$$$36x-108+36x+108=5x^{2}-45\Leftrightarrow$$$$5x^{2}-72x-45=0\Rightarrow$$$$D=5184+900=6084=78^{2}\Rightarrow$$$$x_{1}=\frac{72+78}{10}=15, x_{2}<0$$, то есть собственная скорость лодки составляла 15 км/ч

Задание 2494

Моторная лодка прошла против течения реки $$132$$ км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на $$5$$ часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна $$5$$ км/ч.

Ответ: 17 км/ч
Скрыть

Пусть скорость лодки х км/ч. Тогда скорость против течения будет х-5 км/ч. а по течению х+5 км/ч

По условию на обратный путь затрачено на 5 часов меньше, тогда: $$\frac{132}{x-5}-\frac{132}{x+5}=5$$

Приведем к общему знаменателю: $$\frac{132(x+5)-132(x-5)}{x^2-25}=5$$

$$\frac{132х+660-132х+660}{х^{2}-25}=5$$
$$\frac{1320}{x^{2}-25}=5$$
$$5(x^{2}-25)=1320$$
$$x^{2}=264+25=289$$ 
х=17 км/ч - искомая скорость лодки

Задание 4337

Моторная лодка спускается вниз по реке от $$A$$ до $$B$$ за $$6$$ часов, причем собственная скорость лодки в $$3$$ раза больше скорости течения реки. За какое время лодка поднимается вверх по реке от $$B$$ до $$A$$.

Ответ: 12
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

Пусть S - расстояние от A до B Пусть x - скорость течения, тогда 3x - собственная скорость лодки, 3x+x=4x - скорость лодки вниз по реке(по течению), 3x-x=2x - скорость лодки вверх по реке (против течения). Уже очевидно, что обратно он будет плыть в два раза дольше, так как скорость его в два раза меньше, то есть 6*2=12 ч. Если расписывать: время движения вниз по течению выражается как: $$6=\frac{S}{4x}$$ $$\frac{S}{x}=24$$ Время движения вниз по течению выражается как: $$\frac{S}{2x}=\frac{\frac{S}{x}}{2}=\frac{24}{2}=12$$

Задание 3337

Моторная лодка спустилась вниз по течению реки на $$20$$ км и поднялась вверх по притоку еще на $$10$$ км, затратив на весь путь $$1$$ ч $$10$$ мин. На обратный путь лодке потребовалось $$1$$ ч $$20$$ мин. Зная, что скорость реки равна скорости течения притока, найти собственную скорость лодки.

Ответ: 25
Скрыть

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Скрыть

     Пусть x-скорость лодки в стоячей воде (км\ч ),y км\ч - скорость течения

$$\left\{\begin{matrix}\frac{20}{x+y}+\frac{10}{x-y} =1\frac{1}{6} \\\frac{10}{x+y}+\frac{20}{x-y}=1\frac{1}{3} \end{matrix}\right.$$

     Умножим второе на 2 и вычтем из первого:

$$\frac{10}{x-y}-\frac{40}{x-y}=\frac{7}{6}-\frac{8}{3}$$

$$-\frac{30}{x-y}=\frac{7-16}{6}=-\frac{9}{6}=-\frac{3}{2}$$

$$x-y=\frac{39*2}{3}=20$$

$$y=x-20$$

     Подставим в первое:

$$\frac{20}{x+x-20}+\frac{10}{x-x+20}=\frac{7}{6}$$

$$\frac{20}{2x-20}+\frac{1}{2}=\frac{7}{6}$$

$$\frac{10}{x-10}=\frac{7-3}{6}=\frac{2}{3}$$

$$2(x-10)=30\Leftrightarrow$$ $$2x-20=30\Leftrightarrow$$ $$2x=50\Leftrightarrow$$ $$x=25$$

Задание 828

На изготовление $$231$$ детали ученик тратит на $$11$$ часов больше, чем мастер на изготовление $$462$$ таких же деталей.Известно, что ученик за час делает на $$4$$ детали меньше, чем мастер. Сколько деталей в час делает ученик?

Ответ: 3
Скрыть

$$x$$ дет. в час - ученик

$$(x + 4)$$ дет. в час - мастер.

$$\frac{231}{x}-\frac{462}{x+4}=11$$

$$231(x+4)-462x=11x(x+4)$$

$$231x+924-462x=11x^2+44$$

$$-231x+924=11x^2+44x$$

$$231x+44x+11x^2-924=0$$

$$11x^2+275x-924=0$$ $$|:11$$

$$x^2+25x-84=0$$

$$D=25^2-4\cdot(-84)=625+336=961=31^2$$

$$x_1=\frac{-25+31}{2}=3$$

$$x_2=\frac{-25-31}{2}=-4$$

Второй корень не подходит, значит, ученик изготавливает $$3$$ детали в час.

Задание 4614

На пост главы администрации города претендовало три кандидата: Журавлёв, Зайцев, Иванов. Во время выборов за Иванова было отдано в $$2$$ раза больше голосов, чем за Журавлёва, а за Зайцева — в $$3$$ раза больше, чем за Журавлёва и Иванова вместе. Сколько процентов голосов было отдано за победителя?

Ответ: 75%
Скрыть

Пусть х - количество голосов за Журавлева, тогда - за Иванова, и 3(х+2х)=9х - за Зайцева. Следовательно, всего голосов x+2x+9x=12x. Тогда, процент победителя: $$\frac{9x}{12x}*100=75$$%