Задание 5835
Задание 5835
Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен $$14^\circ$$. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Пусть медиана $$CH$$ и биссектриса $$CM$$ проведены из вершины прямого угла $$C$$ треугольника $$ABC$$.
1. Пусть $$A$$ — один из острых углов. Тогда $$\angle B = 90^\circ - A.$$
2. Из геометрических свойств: $$\angle HCA = A,$$ а $$\angle ACM = 45^\circ.$$
3. Угол между медианой и биссектрисой: $$A - 45^\circ = 14^\circ.$$ Тогда $$A = 59^\circ.$$
Меньший угол: $$\angle B = 90^\circ - 59^\circ = 31^\circ.$$
Задание 5839
Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен $$12^\circ$$. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Пусть $$CH$$ – медиана, а $$CM$$ – биссектриса треугольника $$ABC$$, где прямой угол находится при вершине $$C$$.
1. Пусть один из острых углов равен $$A$$, тогда второй острый угол равен $$\angle B = 90^\circ - A.$$
2. Медиана $$CH$$ к гипотенузе образует с катетом угол, равный углу при противоположной вершине: $$\angle HCA = A.$$ Биссектриса делит угол $$C = 90^\circ$$ пополам: $$\angle ACM = 45^\circ.$$
3. Угол между медианой и биссектрисой: $$\angle MCH = A - 45^\circ.$$ По условию $$A - 45^\circ = 12^\circ,$$ откуда $$A = 57^\circ.$$
Тогда меньший угол треугольника: $$\angle B = 90^\circ - 57^\circ = 33^\circ.$$
Задание 5838
Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен $$18^\circ$$. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Пусть медиана $$CH$$ и биссектриса $$CM$$ проведены из вершины прямого угла $$C$$.
1. Пусть меньший угол треугольника равен $$A$$. Тогда второй острый угол: $$\angle B = 90^\circ - A.$$
2. Для медианы и биссектрисы справедливо: $$\angle HCA = A,$$ $$\angle ACM = 45^\circ.$$
3. Тогда угол между ними: $$A - 45^\circ = 18^\circ,$$ откуда $$A = 63^\circ.$$
Меньший угол: $$\angle B = 90^\circ - 63^\circ = 27^\circ.$$
Задание 5837
Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен $$16^\circ$$. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Пусть треугольник $$ABC$$ прямоугольный, причём прямой угол находится при вершине $$C$$. Проведём из вершины $$C$$ медиану $$CH$$ и биссектрису $$CM$$.
1. Пусть угол $$A$$ — один из острых углов треугольника. Тогда второй острый угол равен $$\angle B = 90^\circ - A.$$
2. Медиана $$CH$$, проведённая из прямого угла к гипотенузе, образует с катетом угол, равный углу при противоположной вершине. Поэтому $$\angle HCA = A.$$
3. Биссектриса $$CM$$ делит угол $$C = 90^\circ$$ пополам, значит $$\angle ACM = 45^\circ.$$
4. Угол между медианой и биссектрисой равен $$\angle MCH = \angle HCA - \angle ACM = A - 45^\circ.$$ По условию этот угол равен $$16^\circ$$, значит $$A - 45^\circ = 16^\circ.$$
Решим уравнение:
$$A = 61^\circ.$$
Теперь найдём меньший угол треугольника:
$$\angle B = 90^\circ - 61^\circ = 29^\circ.$$
Задание 5836
Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен $$19^\circ$$. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Пусть медиана $$CH$$ и биссектриса $$CM$$ проведены из вершины прямого угла $$C$$.
1. Обозначим меньший острый угол через $$A$$. Тогда другой острый угол равен $$\angle B = 90^\circ - A.$$
2. Из свойств прямоугольного треугольника: $$\angle HCA = A,$$ а биссектриса даёт $$\angle ACM = 45^\circ.$$
3. Тогда угол между медианой и биссектрисой равен $$A - 45^\circ.$$ По условию $$A - 45^\circ = 19^\circ,$$ значит $$A = 64^\circ.$$
Меньший угол: $$\angle B = 90^\circ - 64^\circ = 26^\circ.$$