Задание 6116
Задание 6116
Угол $$ACO$$ равен $$34^{\circ}$$, где $$O$$ – центр окружности. Его сторона $$CA$$ касается окружности. Сторона $$CO$$ пересекает окружность в точке $$B$$ (см. рис.). Найдите величину меньшей дуги $$AB$$ окружности. Ответ дайте в градусах.
1. Проведем радиус $$OA$$ в точку касания $$A$$. Так как $$CA$$ – касательная, то:
$$\angle OAC = 90^{\circ}$$
2. В прямоугольном треугольнике $$OAC$$ найдем угол при вершине $$O$$:
$$\angle AOC = 90^{\circ} - \angle ACO = 90^{\circ} - 34^{\circ} = 56^{\circ}$$
3. Градусная мера дуги $$AB$$ равна центральному углу $$AOB$$, который совпадает с $$\angle AOC$$:
$$\smile AB = 56^{\circ}$$
Задание 6120
Угол $$ACO$$ равен $$62^{\circ}$$. Его сторона $$CA$$ касается окружности с центром в точке $$O$$. Отрезок $$CO$$ пересекает окружность в точке $$B$$ (см. рис.). Найдите градусную меру дуги $$AB$$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
1. Проведем радиус $$OA$$. Так как $$CA$$ – касательная, треугольник $$OAC$$ прямоугольный ($$\angle A = 90^{\circ}$$).
2. Найдем угол $$AOC$$:
$$\angle AOC = 90^{\circ} - \angle ACO = 90^{\circ} - 62^{\circ} = 28^{\circ}$$
3. Дуга $$AB$$, заключенная внутри угла $$ACO$$, стягивается центральным углом $$AOB$$. Так как $$B$$ лежит на $$CO$$, то $$\angle AOB = \angle AOC$$:
$$\smile AB = 28^{\circ}$$
Задание 6119
Угол $$ACO$$ равен $$31^{\circ}$$, где $$O$$ – центр окружности. Его сторона $$CA$$ касается окружности. Сторона $$CO$$ пересекает окружность в точке $$B$$ (см. рис.). Найдите величину меньшей дуги $$AB$$ окружности. Ответ дайте в градусах.
1. Проведем радиус $$OA$$. По свойству касательной $$\angle OAC = 90^{\circ}$$.
2. В прямоугольном треугольнике $$OAC$$ угол при вершине $$O$$ равен:
$$\angle AOC = 90^{\circ} - \angle ACO = 90^{\circ} - 31^{\circ} = 59^{\circ}$$
3. Искомая дуга $$AB$$ равна центральному углу $$AOB$$:
$$\smile AB = 59^{\circ}$$
Задание 6118
Угол $$ACO$$ равен $$58^{\circ}$$. Его сторона $$CA$$ касается окружности с центром в точке $$O$$. Отрезок $$CO$$ пересекает окружность в точке $$B$$ (см. рис.). Найдите градусную меру дуги $$AB$$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
1. Проведем радиус $$OA$$. Треугольник $$OAC$$ прямоугольный ($$\angle OAC = 90^{\circ}$$).
2. Найдем угол $$AOC$$:
$$\angle AOC = 90^{\circ} - \angle ACO = 90^{\circ} - 58^{\circ} = 32^{\circ}$$
3. Градусная мера дуги $$AB$$ равна центральному углу $$AOB$$:
$$\smile AB = 32^{\circ}$$
Задание 6117
Угол $$ACO$$ равен $$27^{\circ}$$, где $$O$$ – центр окружности. Его сторона $$CA$$ касается окружности. Сторона $$CO$$ пересекает окружность в точке $$B$$ (см. рис.). Найдите величину меньшей дуги $$AB$$ окружности. Ответ дайте в градусах.
1. Проведем радиус $$OA$$ в точку касания $$A$$. По свойству касательной, радиус перпендикулярен касательной в точке касания:
$$\angle OAC = 90^{\circ}$$
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OAC$$. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $$90^{\circ}$$. Найдем угол $$AOC$$:
$$\angle AOC = 90^{\circ} - \angle ACO = 90^{\circ} - 27^{\circ} = 63^{\circ}$$
3. Точка $$B$$ лежит на стороне $$CO$$, поэтому центральный угол $$AOB$$ совпадает с углом $$AOC$$. Градусная мера дуги $$AB$$ равна величине опирающегося на нее центрального угла:
$$\smile AB = \angle AOB = 63^{\circ}$$