Задание 6131
Задание 6131
Угол $$ACO$$ равен $$51^{\circ}$$. Его сторона $$CA$$ касается окружности с центром в точке $$O$$. Сторона $$CO$$ пересекает окружность в точках $$B$$ и $$D$$ (см. рис.). Найдите градусную меру дуги $$AD$$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
1. Проведём радиус $$OA$$ в точку касания $$A$$. По свойству касательной:
$$\angle OAC = 90^{\circ}$$
2. В прямоугольном треугольнике $$OAC$$ найдём угол $$AOC$$:
$$\angle AOC = 90^{\circ} - \angle ACO = 90^{\circ} - 51^{\circ} = 39^{\circ}$$
3. Углы $$AOC$$ и $$AOD$$ смежные. Найдём $$\angle AOD$$:
$$\angle AOD = 180^{\circ} - \angle AOC = 180^{\circ} - 39^{\circ} = 141^{\circ}$$
4. Градусная мера дуги $$AD$$ равна центральному углу $$AOD$$:
$$\smile AD = 141^{\circ}$$
Задание 6135
Угол $$ACO$$ равен $$39^{\circ}$$. Его сторона $$CA$$ касается окружности с центром в точке $$O$$. Сторона $$CO$$ пересекает окружность в точках $$B$$ и $$D$$ (см. рис.). Найдите градусную меру дуги $$AD$$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
1. Проведём радиус $$OA$$ в точку касания $$A$$. По свойству касательной:
$$\angle OAC = 90^{\circ}$$
2. В прямоугольном треугольнике $$OAC$$ найдём угол $$AOC$$:
$$\angle AOC = 90^{\circ} - \angle ACO = 90^{\circ} - 39^{\circ} = 51^{\circ}$$
3. Углы $$AOC$$ и $$AOD$$ смежные. Найдём $$\angle AOD$$:
$$\angle AOD = 180^{\circ} - \angle AOC = 180^{\circ} - 51^{\circ} = 129^{\circ}$$
4. Градусная мера дуги $$AD$$ равна центральному углу $$AOD$$:
$$\smile AD = 129^{\circ}$$
Задание 6134
Угол $$ACO$$ равен $$46^{\circ}$$. Его сторона $$CA$$ касается окружности с центром в точке $$O$$. Сторона $$CO$$ пересекает окружность в точках $$B$$ и $$D$$ (см. рис.). Найдите градусную меру дуги $$AD$$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
1. Проведём радиус $$OA$$ в точку касания $$A$$. По свойству касательной:
$$\angle OAC = 90^{\circ}$$
2. В прямоугольном треугольнике $$OAC$$ найдём угол $$AOC$$:
$$\angle AOC = 90^{\circ} - \angle ACO = 90^{\circ} - 46^{\circ} = 44^{\circ}$$
3. Углы $$AOC$$ и $$AOD$$ смежные. Найдём $$\angle AOD$$:
$$\angle AOD = 180^{\circ} - \angle AOC = 180^{\circ} - 44^{\circ} = 136^{\circ}$$
4. Градусная мера дуги $$AD$$ равна центральному углу $$AOD$$:
$$\smile AD = 136^{\circ}$$
Задание 6133
Угол $$ACO$$ равен $$38^{\circ}$$. Его сторона $$CA$$ касается окружности с центром в точке $$O$$. Сторона $$CO$$ пересекает окружность в точках $$B$$ и $$D$$ (см. рис.). Найдите градусную меру дуги $$AD$$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
1. Проведём радиус $$OA$$ в точку касания $$A$$. По свойству касательной, радиус перпендикулярен касательной в точке касания, поэтому:
$$\angle OAC = 90^{\circ}$$
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$OAC$$. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $$90^{\circ}$$. Найдём центральный угол $$AOC$$:
$$\angle AOC = 90^{\circ} - \angle ACO = 90^{\circ} - 38^{\circ} = 52^{\circ}$$
3. Точки $$B$$, $$O$$ и $$D$$ лежат на одной прямой, так как сторона $$CO$$ проходит через центр $$O$$ и пересекает окружность в двух точках. Значит, углы $$AOC$$ и $$AOD$$ являются смежными. Найдём угол $$AOD$$:
$$\angle AOD = 180^{\circ} - \angle AOC = 180^{\circ} - 52^{\circ} = 128^{\circ}$$
4. Градусная мера дуги окружности равна величине соответствующего центрального угла. Следовательно, мера дуги $$AD$$ равна:
$$\smile AD = \angle AOD = 128^{\circ}$$
Задание 6132
Угол $$ACO$$ равен $$28^{\circ}$$. Его сторона $$CA$$ касается окружности с центром в точке $$O$$. Сторона $$CO$$ пересекает окружность в точках $$B$$ и $$D$$ (см. рис.). Найдите градусную меру дуги $$AD$$ окружности, заключённой внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
1. Проведём радиус $$OA$$ в точку касания $$A$$. По свойству касательной:
$$\angle OAC = 90^{\circ}$$
2. В прямоугольном треугольнике $$OAC$$ найдём угол $$AOC$$:
$$\angle AOC = 90^{\circ} - \angle ACO = 90^{\circ} - 28^{\circ} = 62^{\circ}$$
3. Углы $$AOC$$ и $$AOD$$ смежные, так как $$B$$, $$O$$, $$D$$ лежат на одной прямой. Найдём $$\angle AOD$$:
$$\angle AOD = 180^{\circ} - \angle AOC = 180^{\circ} - 62^{\circ} = 118^{\circ}$$
4. Градусная мера дуги $$AD$$ равна центральному углу $$AOD$$:
$$\smile AD = 118^{\circ}$$