Уравнения

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Каждое слагаемое — квадрат, значит оно неотрицательно. Сумма двух квадратов равна нулю только тогда, когда оба квадрата равны нулю: $$ \begin{cases} x^2 - 16 = 0,\\ x^2 + 3x - 4 = 0. \end{cases} $$

2) Решим уравнение $$x^2 - 16 = 0.$$ Дискриминант: $$D = 0^2 - 4\cdot 1\cdot(-16) = 64,$$ $$x_{1,2} = \dfrac{0 \pm \sqrt{64}}{2} = \pm 4.$$ То есть $$x = 4,\ x = -4.$$

3) Решим уравнение $$x^2 + 3x - 4 = 0.$$ Дискриминант: $$D = 3^2 - 4\cdot 1\cdot(-4) = 9 + 16 = 25,$$ $$x_{1,2} = \dfrac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-3 \pm 5}{2}.$$ Тогда $$x_1 = 1,\quad x_2 = -4.$$

4) Значение $$x$$ должно удовлетворять обоим уравнениям, общим корнем является только $$x = -4.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Сделаем замену: $$t = \frac{1}{x - 2}.$$ Тогда уравнение примет вид $$t^2 - t - 6 = 0.$$

2) Решим квадратное уравнение: $$D = (-1)^2 - 4\cdot 1\cdot(-6) = 1 + 24 = 25,$$ $$t_{1,2} = \dfrac{1 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{1 \pm 5}{2}.$$ Получаем: $$t_1 = 3,\qquad t_2 = -2.$$

3) Возвращаемся к переменной $$x$$:

1) $$\frac{1}{x - 2} = 3,$$ $$x - 2 = \frac{1}{3},$$ $$x = \frac{7}{3}.$$

2) $$\frac{1}{x - 2} = -2,$$ $$x - 2 = -\frac{1}{2},$$ $$x = \frac{3}{2}.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Сделаем замену: $$t = \frac{1}{x},$$ тогда $$t^2 - 3t - 4 = 0.$$

2) Решим квадратное уравнение: $$D = (-3)^2 - 4\cdot 1\cdot(-4) = 9 + 16 = 25,$$ $$t_{1,2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{3 \pm 5}{2}.$$ Получаем: $$t_1 = 4,\qquad t_2 = -1.$$

3) Возвращаемся к переменной $$x$$:

1) $$t = 4 \Rightarrow \frac{1}{x} = 4 \Rightarrow x = \frac{1}{4}.$$

2) $$t = -1 \Rightarrow \frac{1}{x} = -1 \Rightarrow x = -1.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Так как в знаменателе переменная, мы исключаем деление на 0. То есть $$x\neq 1$$ $$\frac{x^{17}-1}{1-x^{15}}=\frac{1-x^{15}}{x^{13}-1}\Leftrightarrow $$$$(x^{17}-1)(x^{13}-1)=(1-x^{15})^{2}\Leftrightarrow $$$$x^{30}-x^{17}-x^{13}+1=1-2x^{15}+x^{30}\Leftrightarrow $$$$x^{17}-2x^{15}+x^{13}=0\Leftrightarrow $$$$x^{13}(x^{4}-2x^{2}+1)=0 \Leftrightarrow $$$$x^{13}(x^{2}-1)^{2}=0$$ Тогда или $$x^{13}=0$$, или $$x^{2}-1=0$$. В первом случае $$x=0$$, во втором $$x=\pm 1$$.Корень $$x=1$$ не входит в ОДЗ

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     ОДЗ: $$\left | x-2 \right |\neq 0\Leftrightarrow x\neq 2$$

     Решение: $$x^{4}-9x^{2}+20=0$$

     Пусть : $$x^{2}=y\geq 0$$, тогда получим:

$$y^{2}-9y+20=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y_{1}+y_{2}=9\\y_{1}*y_{2}=20\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}y_{1}=4\\y_{2}=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x^{2}=4 \\x^{2}=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=\pm 2\\x=\pm \sqrt{5}\end{matrix}\right.$$

     С учетом ОЗД: $$x=\pm \sqrt{5}; -2$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\sqrt{x+3}(x^{2}+7x+10)=0\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x+3\geq 0\\\left[\begin{matrix}x+3=0\\x^{2}+7x+10=0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x\geq -3\\\left[\begin{matrix}x=-3\\x=-2\\x=-5\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Rightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=-3\\x=-2\end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Заметим: $$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2.$$ Тогда: $$x(x + 1)^2 = 6(x + 1).$$ Вынесем общий множитель: $$(x + 1)\bigl(x(x + 1) - 6\bigr) = 0.$$ Отсюда: $$x + 1 = 0,$$ или $$x(x + 1) - 6 = 0.$$

2) Первый корень: $$x = -1.$$

3) Решим квадратное уравнение: $$x^2 + x - 6 = 0.$$ Дискриминант: $$D = 1^2 - 4\cdot 1\cdot(-6) = 1 + 24 = 25,$$ $$x_{1,2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-1 \pm 5}{2}.$$ Получаем: $$x_1 = 2,\quad x_2 = -3.$$

1) ОДЗ: подкоренное выражение неотрицательно: $$3 - x \ge 0 \;\Rightarrow\; x \le 3.$$

2) Перенесём корень в одну сторону и сократим одинаковые слагаемые: $$x^2 - 2x + \sqrt{3 - x} = \sqrt{3 - x} + 8,$$ $$x^2 - 2x = 8,$$ $$x^2 - 2x - 8 = 0.$$

3) Решим квадратное уравнение: $$D = (-2)^2 - 4\cdot 1\cdot(-8) = 4 + 32 = 36,$$ $$x_{1,2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{2 \pm 6}{2}.$$ Тогда $$x_1 = 4,\quad x_2 = -2.$$ С учётом ОДЗ $$x \le 3$$ подходит только $$x = -2.$$ Проверка показывает, что корень верный.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     $$x^{2}+\frac{25x^{2}}{(x+5)^{2}}=\frac{125}{4}$$

ОДЗ: $$x+5\neq 0\Rightarrow$$ $$x\neq -5$$

     $$x^{2}+(\frac{5x}{x+5})^{2}+2*\frac{x*5x}{x+5}-2*\frac{x*5x}{x+5}=\frac{125}{4}\Leftrightarrow$$$$(x-\frac{5x}{x+5})^{2}+\frac{10x^{2}}{x+5}=\frac{125}{4}\Leftrightarrow$$$$(\frac{x^{2}+5x-5x}{(x+5)})^{2}+10*\frac{x^{2}}{x+5}-\frac{125}{4}=0\Leftrightarrow$$$$(\frac{x^{2}}{x+5})^{2}+10*\frac{x^{2}}{x+5}-\frac{125}{4}=0$$

     Пусть $$\frac{x^{2}}{x+5}=y$$: $$y^{2}+10y-\frac{125}{4}=0$$

     $$\left[\begin{matrix}\frac{x^{2}}{x+5}=\frac{5}{2}\\\frac{x^{2}}{x+5}=-\frac{25}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}2x^{2}-5x-25=0(1)\\2x^{2}+25x+125=0(2)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=5\\x=-2,5\end{matrix}\right.$$

1) D=25+200=225: $$\left[\begin{matrix}x_{1}=\frac{5+15}{4}=5\\x_{2}=\frac{5-15}{4}=-\frac{5}{2}\end{matrix}\right.$$

2) D=625-1000<0 - решений нет