Задание 4641
Задание 4641
Решите уравнение: $$x^2 - 2x + \sqrt{3 - x} = \sqrt{3 - x} + 8$$
1) ОДЗ: подкоренное выражение неотрицательно: $$3 - x \ge 0 \;\Rightarrow\; x \le 3.$$
2) Перенесём корень в одну сторону и сократим одинаковые слагаемые: $$x^2 - 2x + \sqrt{3 - x} = \sqrt{3 - x} + 8,$$ $$x^2 - 2x = 8,$$ $$x^2 - 2x - 8 = 0.$$
3) Решим квадратное уравнение: $$D = (-2)^2 - 4\cdot 1\cdot(-8) = 4 + 32 = 36,$$ $$x_{1,2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{2 \pm 6}{2}.$$ Тогда $$x_1 = 4,\quad x_2 = -2.$$ С учётом ОДЗ $$x \le 3$$ подходит только $$x = -2.$$ Проверка показывает, что корень верный.
Аналоги к этому заданию:
Задание 3196
Решите уравнение: $$x^2 - 2x + \sqrt{6 - x} = \sqrt{6 - x} + 35$$
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) ОДЗ: $$6 - x \ge 0 \;\Rightarrow\; x \le 6.$$
2) Перенесём одинаковые корни в одну сторону: $$x^2 - 2x + \sqrt{6 - x} = \sqrt{6 - x} + 35,$$ $$x^2 - 2x = 35,$$ $$x^2 - 2x - 35 = 0.$$
3) Решим квадратное уравнение: $$D = (-2)^2 - 4\cdot 1\cdot(-35) = 4 + 140 = 144,$$ $$x_{1,2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{144}}{2} = \dfrac{2 \pm 12}{2}.$$ Получаем: $$x_1 = 7,\quad x_2 = -5.$$ С учётом условия $$x \le 6$$ подходит только $$x = -5.$$
Задание 148
Решите уравнение: $$2x^2 - 3x + \sqrt{4 - x} = \sqrt{4 - x} + 27$$
1) ОДЗ: $$4 - x \ge 0 \;\Rightarrow\; x \le 4.$$
2) Сократим одинаковые корни: $$2x^2 - 3x = 27,$$ $$2x^2 - 3x - 27 = 0.$$
3) Решим квадратное уравнение: $$D = (-3)^2 - 4\cdot 2\cdot(-27) = 9 + 216 = 225,$$ $$x_{1,2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{225}}{4} = \dfrac{3 \pm 15}{4}.$$ Получаем $$x_1 = \dfrac{18}{4} = \dfrac{9}{2},\quad x_2 = \dfrac{-12}{4} = -3.$$ С учётом $$x \le 4$$ подходит только $$x = -3.$$
Задание 168
Решите уравнение: $$2x^2 - 3x + \sqrt{2 - x} = \sqrt{2 - x} + 14$$
1) ОДЗ: $$2 - x \ge 0 \;\Rightarrow\; x \le 2.$$
2) Сократим одинаковые корни: $$2x^2 - 3x = 14,$$ $$2x^2 - 3x - 14 = 0.$$
3) Решим квадратное уравнение: $$D = (-3)^2 - 4\cdot 2\cdot(-14) = 9 + 112 = 121,$$ $$x_{1,2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{121}}{4} = \dfrac{3 \pm 11}{4}.$$ Тогда $$x_1 = \dfrac{14}{4} = \dfrac{7}{2},\quad x_2 = \dfrac{-8}{4} = -2.$$ С учётом $$x \le 2$$ оставляем $$x = -2.$$
Задание 497
Решите уравнение $$ x^2 - 3x + \sqrt{5 - x} = \sqrt{5 - x} + 18 $$
1) ОДЗ: $$5 - x \ge 0 \;\Rightarrow\; x \le 5.$$
2) Уберём одинаковый корень по обе стороны: $$x^2 - 3x = 18,$$ $$x^2 - 3x - 18 = 0.$$
3) Решим квадратное уравнение: $$D = (-3)^2 - 4\cdot 1\cdot(-18) = 9 + 72 = 81,$$ $$x_{1,2} = \dfrac{3 \pm \sqrt{81}}{2} = \dfrac{3 \pm 9}{2}.$$ Получаем $$x_1 = 6,\quad x_2 = -3.$$ С учётом $$x \le 5$$ подходит только $$x = -3.$$