Задание 5830
Задание 5830
В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен $$14^\circ$$. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Пусть $$CH$$ – высота, а $$CM$$ – биссектриса треугольника $$ABC$$.
1. Пусть меньший угол треугольника равен $$A$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$ACH$$ имеем $$\angle ACH = 90^\circ - \angle A.$$
2. Биссектриса $$CM$$ делит прямой угол $$C = 90^\circ$$ на два угла по $$45^\circ$$, значит $$\angle ACM = 45^\circ.$$
3. Угол между высотой и биссектрисой равен $$\angle MCH = (90^\circ - A) - 45^\circ = 45^\circ - A.$$ По условию он равен $$14^\circ$$, значит $$45^\circ - A = 14^\circ,$$ откуда $$A = 31^\circ.$$
Задание 5834
В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен $$23^\circ$$. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Пусть $$CH$$ – высота, а $$CM$$ – биссектриса треугольника $$ABC$$.
1. Пусть меньший угол треугольника равен $$A$$. Тогда $$\angle ACH = 90^\circ - A.$$
2. Биссектриса угла $$C$$ делит $$90^\circ$$ на два угла по $$45^\circ$$, значит $$\angle ACM = 45^\circ.$$
3. Угол между высотой и биссектрисой равен $$\angle MCH = 45^\circ - A.$$ По условию $$45^\circ - A = 23^\circ,$$ получаем $$A = 22^\circ.$$
Задание 5833
В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен $$34^\circ$$. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Пусть $$CH$$ – высота, а $$CM$$ – биссектриса треугольника $$ABC$$.
1. Пусть меньший угол треугольника равен $$A$$. Тогда $$\angle ACH = 90^\circ - A.$$
2. Биссектриса делит угол $$C = 90^\circ$$ на два угла по $$45^\circ$$, значит $$\angle ACM = 45^\circ.$$
3. Угол между высотой и биссектрисой: $$\angle MCH = (90^\circ - A) - 45^\circ = 45^\circ - A.$$ По условию он равен $$34^\circ$$, следовательно $$45^\circ - A = 34^\circ,$$ $$A = 11^\circ.$$
Задание 5832
В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен $$18^\circ$$. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Пусть $$CH$$ – высота, а $$CM$$ – биссектриса треугольника $$ABC$$.
1. Пусть меньший угол прямоугольного треугольника равен $$A$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$ACH$$ имеем $$\angle ACH = 90^\circ - \angle A.$$
2. Биссектриса $$CM$$ делит прямой угол $$C = 90^\circ$$ на два угла по $$45^\circ$$, то есть $$\angle ACM = 45^\circ.$$
3. Угол между высотой и биссектрисой равен $$\angle MCH = (90^\circ - \angle A) - 45^\circ = 45^\circ - \angle A.$$
По условию: $$45^\circ - \angle A = 18^\circ.$$
Отсюда $$\angle A = 27^\circ.$$
Задание 5831
В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен $$9^\circ$$. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Пусть $$CH$$ – высота, а $$CM$$ – биссектриса треугольника $$ABC$$.
1. Пусть меньший угол прямоугольного треугольника равен $$A$$. Тогда $$\angle ACH = 90^\circ - A.$$
2. Биссектриса $$CM$$ делит угол $$C = 90^\circ$$ пополам: $$\angle ACM = 45^\circ.$$
3. Угол между высотой и биссектрисой равен $$\angle MCH = 45^\circ - A.$$ По условию $$45^\circ - A = 9^\circ,$$ откуда $$A = 36^\circ.$$