Арифметические и геометрические прогрессии

Аналоги к этому заданию:

Задание 4017

Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии: …; $$150$$; $$x$$; $$6$$; $$1,2$$; … Найдите член прогрессии, обозначенный буквой $$x$$.

Ответ: 30

Видео-решение Решение 1

ⓘ

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$b_{n}=\sqrt{b_{n-1}\cdot b_{n+1}}=$$ $$\sqrt{150\cdot6}=\sqrt{900}=30$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 3060

Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: $$-3$$; $$-6$$; $$-9$$; … Найдите сумму первых тринадцати её членов.

Ответ: -273

Видео-решение Решение 1

ⓘ

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Найдем разность арифметической прогрессии: $$d=a_{n+1}-a_{n}\Rightarrow$$ $$d=-6-(-3)=-3$$

Найдем сумму первых тринадцати: $$S_{n}=\frac{2a_{1}+d(n-1)}{2}*n\Rightarrow$$ $$S_{13}=\frac{2*(-3)-3(13-1)}{2}*13=-273$$

Задание 4951

Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: $$3$$; $$6$$; $$9$$; $$12$$;… Какое из следующих чисел есть среди членов этой прогрессии?
1) $$83$$
2) $$95$$
3) $$100$$
4) $$102$$

Ответ: 4

Решение 1

ⓘ

Найдем разность арифметической прогрессии: $$d=a_{n+1}-a_{n}=6-3=3$$. Следовательно, прогрессию можно задать формулой: $$a_{n}=3+3(n-1)$$.Для того, чтобы число являлось членом данной арифметической прогрессии, при подстановке числа вместо $$a_{n}$$ должно решаться уравнение $$a_{n}=3+3(n-1)$$ в натуральных n:

$$83=3+3(n-1)\Leftrightarrow$$$$83=3+3n-3\Leftrightarrow$$$$83=3n|:3\Leftrightarrow$$$$n=\frac{83}{3}$$-число ненатуральное, следовательно, число 83 не является членом данной прогрессии

$$95=3+3(n-1)\Leftrightarrow$$$$953=3+3n-3\Leftrightarrow$$$$95=3n|:3\Leftrightarrow$$$$n=\frac{95}{3}$$-число ненатуральное, следовательно, число 95 не является членом данной прогрессии

$$100=3+3(n-1)\Leftrightarrow$$$$100=3+3n-3\Leftrightarrow$$$$100=3n|:3\Leftrightarrow$$$$n=\frac{100}{3}$$-число ненатуральное, следовательно, число 100 не является членом данной прогрессии

$$102=3+3(n-1)\Leftrightarrow$$$$102=3+3n-3\Leftrightarrow$$$$102=3n|:3\Leftrightarrow$$$$n=34$$-число натуральное, следовательно, число 102 является членом данной прогрессии

Аналоги к этому заданию:

Задание 2328

Выписаны первые несколько членов арифметической прогрессии: $$93$$; $$85,5$$; $$78$$; … Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.

Ответ: -4,5

Видео-решение

ⓘ

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Аналоги к этому заданию:

Задание 2420

Выписаны первые несколько членов геометрической прогрессии: $$175$$; $$-525$$; $$1575$$; … Найдите её четвёртый член.

Ответ: -4725

Видео-решение

ⓘ

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Аналоги к этому заданию:

Задание 3348

Выписаны первые три члена арифметической прогрессии: $$20$$; $$13$$; $$6$$; … Найдите шестой член этой прогрессии.

Ответ: -15

Видео-решение Решение 1

ⓘ

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Найдем разность арифм. Прогрессии : $$d=a_{n+1}-a_{n}=13-20=-7$$ Найдем шестой член используя формулу n-го члена: $$a_{n}=a_{1}+d(n-1)$$ $$a_{6}=2a-7(6-1)=-15$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2796

Выписаны первые три члена арифметической прогрессии: $$6$$; $$8$$; $$10$$; … Найдите сумму первых восьми её членов.

Ответ: 104

Видео-решение

ⓘ

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Аналоги к этому заданию:

Задание 2710

Геометрическая прогрессия $$(b_n)$$ задана условиями: $$b_1 = -2$$, $$b_{n+1} = 2b_n$$. Найдите $$b_7$$.

Ответ: -128

Видео-решение

ⓘ

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Задание 4965

Геометрическая прогрессия задана условием $$b_1 = -7$$, $$b_{n+1} = 3b_n$$. Найдите сумму первых пяти её членов.

Ответ: -847

Решение 1

ⓘ

1 вариант решения: знаменатель геометрической прогрессии можно найти по формуле: $$\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{3b_{n}}{b_{n}}=3$$. Сумму n-первых членов геометрической прогрессии можно найти по формуле: $$S_{n}=\frac{b_{1}*(1-q^{n})}{1-q}$$. Тогда $$S_{5}=\frac{-7*(1-3^{5})}{1-3}=-847$$ 2 вариант решения: найдем первые пять членов геометрической прогрессии: $$b_{2}=3*b_{1}=3*(-7)=-21$$ ; $$b_{3}=3*b_{2}=3*(-21)=-63$$ ; $$b_{4}=3*b_{3}=3*(-63)=-189$$ ; $$b_{5}=3*b_{4}=3*(-189)=-567$$. Сложим их: $$-7+(-21)+(-63)+(-189)+(-567)=-847$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4968

Геометрическая прогрессия задана условием $$b_n = 160 \cdot 3^n$$. Найдите сумму первых четырёх её членов.

Ответ: 19200

Решение 1

ⓘ

Найдем знаменатель геометрической прогрессии: $$q=\frac{b_{n+1}}{b_{n}}=\frac{160*3^{n+1}}{160*3^{n}}=3$$. Найдем первый член: $$b_{1}=160*3^{1}=480$$. Найдем сумму первый четырех ее членов: $$S_{n}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}=\frac{480*(3^{4}-1)}{3-1}=19200$$

Задание 2098

Дан числовой набор. Его первое число равно $$6,2$$, а каждое следующее число на $$0,6$$ больше предыдущего. Найдите пятое число этого набора.

Ответ: 8,6

Видео-решение Решение 1

ⓘ

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Аналоги к этому заданию:

Задание 3322

Дана арифметическая прогрессия $$(a_n)$$, для которой $$a_4 = -12$$, $$a_{10} = -78$$. Найдите разность прогрессии.

Ответ: -11

Видео-решение Решение 1

ⓘ

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Чтобы найти разность арифметической прогрессии, воспользуемся формулой : $$d=\frac{a_{m}-a_{n}}{m-n}=$$$$\frac{a_{10}-a_{4}}{10-4}=$$$$\frac{-78-(-12)}{6}=-11$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 2184

Дана арифметическая прогрессия $$(a_n)$$, разность которой равна $$-0,8$$, $$a_1 = 1,1$$. Найдите сумму первых девяти её членов.

Ответ: -18,9

Видео-решение

ⓘ

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Аналоги к этому заданию:

Задание 4083

Дана арифметическая прогрессия $$(a_n)$$, разность которой равна $$5,5$$, $$a_1 = 9,5$$. Найдите $$a_{16}$$.

Ответ: 92

Видео-решение Решение 1

ⓘ

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Формула вычисления n-го члена арифметической прогрессии: $$a_{n}=a_{1}+d(n-1)$$ d - разность арифметической прогрессии, n -порядковый номер члена арифметической прогрессии $$a_{16}=9,5+5,5(16-1)=92$$

Аналоги к этому заданию:

Задание 4966

Дана геометрическая прогрессия $$(b_n)$$, для которой $$b_5 = -14$$, $$b_8 = 112$$. Найдите знаменатель прогрессии.

Ответ: -2

Видео-решение Решение 1

ⓘ

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Знаменатель геометрической прогрессии можно найти по формуле : $$q=\sqrt[m-n]{\frac{b_{m}}{b_{n}}}=\sqrt[8-5]{\frac{112}{-14}}=\sqrt[3]{8}=-2$$