ОГЭ / Задачи с кругами и окружностями

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 Если в прямоугольник вписана окружность, то он квадрат. Пусть х -сторона $$\Rightarrow$$ $$x=2\cdot r=20$$; $$P=4x=4\cdot20=80$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$r=12$$ $$\Rightarrow$$ $$a=24$$; $$P=24\cdot4=96$$

Пусть R - радиус и D - диаметр окружности, a - сторона квадрата. Сторона квадрата равна диаметру вписанной окружности. Найдём площадь квадрата:

$$S=D^2=(2R)^2=(2\cdot25)^2=2500$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\angle OBC=\frac{1}{2}\angle ABC=\frac{138^{\circ}}{2}=69^{\circ}$$

$$\bigtriangleup OBC$$ - равнобедренный, т.к. $$OB=OC$$ - радиусы $$\Rightarrow$$

$$\angle OCB=\angle OBC=69^{\circ}$$

$$\Rightarrow$$ $$\angle BOC=180-\angle OBC-\angle OCB=180^{\circ}-138^{\circ}=42^{\circ}$$

Треугольник BOC - равнобедренный (OB и OC - радиусы окружности), тогда $$\angle OBC=53^{\circ}\Rightarrow$$$$\angle BOC=180-53\cdot 2=74$$ Но углы BOC и AOD - вертикальны, следовательно, равны

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Воспользуемся формулой площади треугольника через его полу периметр и радиус вписанной окружности: $$S=p*r$$; $$p=\frac{56}{2}=28$$. Тогда: $$S=28*5=140$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Площадь сектора находится по формуле: $$S_{cek}=\frac{S_{kr}\cdot \alpha}{360}$$, где $$S_{kr}$$ - площадь круга, $$\alpha$$ - центральный угол сектора: $$S_{cek}=\frac{69\cdot 120}{360}=23$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Пусть гипотенуза равна 2х, тогда катет, лежащий на против угла в 30 градусов будет х. А второй катет по теореме Пифагора: $$\sqrt{(2x)^{2}-x^{2}}=\sqrt{3}x$$ Площадь треугольника тогда $$\frac{1}{2}x*\sqrt{3}x=32\sqrt{3}\Leftrightarrow$$$$x=8$$ При этом радиус описанной окружности около прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то есть 8

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, значит ∠OKM = 90 - 50 = 40. Треугольник OMK равнобедренный ( так как OK ; OM - радиусы ). Значит ∠OMK = ∠OKM = 40 ∠MOK = 180 - ∠OMK - ∠OKM = 180 - 80 = 100

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) $$\angle K=90$$ (по свойству радиус в точку касания) $$\Rightarrow$$ $$\angle OKM=90-70=20$$

2) $$OK=OM$$ – радиусы $$\Rightarrow$$ $$\Delta OMK$$ - равнобедренный и $$\angle OMK=\angle OKM=20$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

 

​

 

Построим радиусы ОН и ОМ.

Так как радиус ОВ перпендикулярен хорде МН, то треугольники ОКМ и ОКН прямоугольные.

В треугольниках ОКМ и ОКН катет ОК общий, а гипотенузы $$ОМ = ОН = R = 13$$ см.

Тогда прямоугольные треугольники ОКМ и ОКН равны по катету и гипотенузе, а значит $$КМ = КН.$$

Радиус $$ОВ = 13 = ВК + ОК = 1 + ОК.$$

$$ОК = 13 – 1 = 12$$ см.

По теореме Пифагора, из прямоугольного треугольника ОКН определим длину катета КН.

$$КН^2=ОН^2-ОК^2=169-144=25.$$

$$КН=5$$ см.

Тогда хорда $$МН=5+5=10$$ см.