Комбинация многоугольников и окружностей

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) $$KF=KM-FM=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

2) $$\bigtriangleup LKF$$: $$LF=\sqrt{KL^{2}-LF^{2}}=\sqrt{1^{2}-\frac{3}{9}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$$;

3) $$\bigtriangleup LKN$$ - прямоугольный, т.к. опирается на диаметр $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup KLF\sim\bigtriangleup LKN$$ (по 2 углам) $$\Rightarrow$$ $$\frac{KL}{LN}=\frac{LF}{KL}$$ $$\Rightarrow$$ $$KL^{2}=LN\cdot LF$$ $$\Rightarrow$$ $$KL^{2}=LF(LF+FN)$$, пусть $$FN=x$$

$$1^{2}=\frac{\sqrt{6}}{3}(\frac{\sqrt{6}}{3}+x)$$; $$1-\frac{6}{9}=\frac{\sqrt{6}}{3}x$$; $$\Rightarrow$$ $$x=\frac{1}{3}\cdot\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}$$; $$LN=LF+FN=\frac{\sqrt{6}}{3}+\frac{1}{\sqrt{6}}=\frac{2\sqrt{6}}{6}+\frac{\sqrt{6}}{6}=$$ $$\frac{3\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{2}$$

4) $$R=\frac{1}{2}LN$$ (радиус описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы) $$\Rightarrow$$ $$R=\frac{\sqrt{6}}{4}$$

5) $$S=\pi R^{2}=\frac{6}{16}\pi=\frac{3}{8}\pi$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) AD*CE=CD*AE, тогда $$\frac{AD}{CD}=\frac{AE}{CE} \Leftrightarrow$$ DB - биссектриса в треугольнике ADC. Тогда $$\angle BDA = \angle CDB$$ , но $$\angle BDA = \angle BCA$$ и $$\angle CDB = \angle BAC$$ (как вписанные), следовательно $$\angle BCA = angle BAC$$ , тогда треугольник ABC - равнобедренный

2)Построим продолжение DС за точка C и отложим из B отрезок BF = DB так, что $$F \in DC$$. Тогда треугольник DBF - равнобедренный. Так как AB = BC, DB = BF и из равнобедренности DBF $$\angle BDF = \angle BFD$$, но и $$\angle BDA = \angle CDB$$, тогда $$\angle BDA=\angle BFD$$. $$\angle BAD + \angle DCB = 180$$ по свойству вписанного четырехугольника, но и $$\angle BCF + \angle DCB = 180$$ по свойству смежных углов, тогда $$\angle BAD = \angle BCF$$ и, следовательно, треугольники ABD и BCF равны, следовательно, $$S_{ADF}=S_{ABCD}$$

3)$$\angle DBF = 180 - 2*22.5 = 135$$ (из треугольника DBF), $$S_{DBF}=\frac{1}{2}DB*DF*\sin DBF$$, то есть $$S_{DBF}=0,5*6*6*\frac{\sqrt{2}}{2}=9\sqrt{2}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     1) Т.к в ABCD можно вписать окружность , то $$AB+CD=BC+AD=16$$. Пусть BC=x $$\Rightarrow$$ AD=16-x

     2) Пусть $$OL\perp BC$$ и $$ON\perp AD$$ (радиусы в точку касания) , и $$OL=ON=y$$; $$MK=\frac{BC+AD}{2}=8$$ - средняя линия. Тогда $$S_{MBCK}=\frac{x+8}{2}*y$$; $$S_{AMKD}=\frac{16-x+8}{2}*y=\frac{24-x}{2}*y$$

     3) $$\frac{S_{MBCK}}{S_{AMKD}}=\frac{\frac{x+8}{2}*y}{\frac{24-x}{2}*y}=$$$$\frac{5}{11}\Leftrightarrow$$ $$\frac{x+8}{24-x}=\frac{5}{11}\Leftrightarrow$$ $$11x+88=120-5x\Leftrightarrow$$$$16x=32\Leftrightarrow$$ $$x=2\Rightarrow$$ $$BC=2; AD=14$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) $$\tan ABC=\frac{AC}{BC}=2,4=\frac{12}{5}$$. Пусть $$AC=12x$$ $$\Rightarrow$$ $$AB=5x$$. По т. Пифагора: $$AB=\sqrt{AC^{2}+CB^{2}}=13x$$

2) $$\bigtriangleup CPA\sim\bigtriangleup ABC$$ (прямоугольные с общим сотрым углом) $$\Rightarrow$$ $$\frac{O_{1}L}{OK}=\frac{AC}{AB}=\frac{12x}{13x}=\frac{12}{13}$$ $$\Rightarrow$$ $$OK=\frac{O_{1}L\cdot13}{12}=\frac{12\cdot13}{12}=13$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     1) Пусть F точка касания и $$CD=x$$. Опустим перпендикуляры FH(через Q) и $$AC_{1}$$. Тогда $$CD=FH=AC_{1}=x$$

     2) $$\Delta QHB\sim \Delta DCB$$: $$\frac{CD}{QH}=\frac{BD}{BQ}\Rightarrow$$ $$QH=\frac{1}{4}EB=\frac{1}{4}x\Rightarrow$$$$FQ=x-\frac{1}{4}x=\frac{3}{4}x$$. Но QP=QF (радиус)

     3) из $$\Delta QHP:$$ $$PH=\frac{1}{2}PK=2$$. Тогда по т. Пифагора : $$PQ^{2}=QH^{2}+PH^{2}\Leftrightarrow$$ $$(\frac{3}{4}x)^{2}=(\frac{1}{4}x)^{2}+2^{2}\Leftrightarrow$$ $$\frac{x^{2}}{2}=4\Rightarrow$$ $$x^{2}=8$$

     4)из $$\Delta AC_{1}B$$ : $$AB=\sqrt{AC_{1}^{2}+C_{1}B^{2}}$$.  $$C_{1}B=CB-AD=9-8=1$$, $$AC_{1}^{2}=x^{2}=8$$, тогда $$AB=\sqrt{8+1}=3$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     1) Пусть $$ND=MN=2x\Rightarrow$$ $$CM=x$$; $$AB=4$$. Пусть $$CH\left | \right |AB\Rightarrow$$ $$CH=4$$, $$BC=AH=y$$. По т. Пифагора из $$\Delta CDH$$: $$HD=\sqrt{CD^{2}-CH^{2}}=\sqrt{25x^{2}-16}$$

      2) По свойству касательной и секущей : $$\left\{\begin{matrix}BC^{2}=CM*CN\\AD^{2}=DN*DM\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y^{2}=x*3x\\(y+\sqrt{25x^{2}-16})^{2}=2x*4x\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}y=x\sqrt{3}\\y^{2}+25x^{2}-16+2y\sqrt{25x^{2}-16}=8x^{2}(1)\end{matrix}\right.$$

   Рассмотрим (1): $$25x^{2}+3x^{2}-8x^{2}+2x\sqrt{3}*\sqrt{25x^{2}-16}=16\Leftrightarrow$$$$2 x\sqrt{3}\sqrt{25x^{2}-16}=16-20x^{2}\Leftrightarrow$$$$x\sqrt{3}\sqrt{25x^{2}-16}=8-10x^{2}\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}3x^{2}(15x^{2}-16)=(8-10x^{2})^{2}(2)\\8-10 x^{2}\geq 0(3)\end{matrix}\right.$$

   Рассмотрим (2): $$75x^{4}-8x^{2}=64-160x^{2}+100x^{4}\Leftrightarrow$$ $$25x^{2}-112x^{2}+64=0\Rightarrow$$ $$D=6144=32^{2}*6$$

   Тогда: $$\left\{\begin{matrix}x_{1}^{2}=\frac{112+32\sqrt{6}}{50} \in (3)\\x_{2}^{2}=\frac{112-32\sqrt{6}}{50}=\frac{56-16\sqrt{6}}{25}=(\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{5})^{2}\end{matrix}\right.$$

     3) Площадь $$S=\frac{BC+AD}{2}*CH=$$$$\frac{y+y+\sqrt{25x^{2}-16}}{2}*4=$$$$2(2y+\sqrt{25x^{2}-16})$$

   1) $$\sqrt{25x^{2}-16}=\sqrt{25*\frac{56-16\sqrt{6}}{25}-16}=$$$$\sqrt{40-16\sqrt{6}}=\sqrt{(2\sqrt{6}-4)^{2}}=$$$$\left | 2\sqrt{6}-4 \right |=2\sqrt{6}-4$$

   2) $$2y=2*x\sqrt{3}=2\sqrt{3}*\left | \frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{5} \right |=$$$$2\sqrt{3}*\frac{4\sqrt{3}-2\sqrt{2}}{5}=$$$$\frac{24-4\sqrt{6}}{5}$$

   $$S=2(\frac{24-4\sqrt{6}}{5}+2\sqrt{6}-4)=$$$$\frac{2}{5}*(24-4\sqrt{6}+10\sqrt{6}-20)=$$$$\frac{2}{5}(6\sqrt{6}+4)=\frac{4(2+3\sqrt{6})}{5}$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!