(C1) Алгебраические выражения, уравнения, неравенства и их системы

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Заметим: $$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2.$$ Тогда: $$x(x + 1)^2 = 6(x + 1).$$ Вынесем общий множитель: $$(x + 1)\bigl(x(x + 1) - 6\bigr) = 0.$$ Отсюда: $$x + 1 = 0,$$ или $$x(x + 1) - 6 = 0.$$

2) Первый корень: $$x = -1.$$

3) Решим квадратное уравнение: $$x^2 + x - 6 = 0.$$ Дискриминант: $$D = 1^2 - 4\cdot 1\cdot(-6) = 1 + 24 = 25,$$ $$x_{1,2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-1 \pm 5}{2}.$$ Получаем: $$x_1 = 2,\quad x_2 = -3.$$

1) ОДЗ: подкоренное выражение неотрицательно: $$3 - x \ge 0 \;\Rightarrow\; x \le 3.$$

2) Перенесём корень в одну сторону и сократим одинаковые слагаемые: $$x^2 - 2x + \sqrt{3 - x} = \sqrt{3 - x} + 8,$$ $$x^2 - 2x = 8,$$ $$x^2 - 2x - 8 = 0.$$

3) Решим квадратное уравнение: $$D = (-2)^2 - 4\cdot 1\cdot(-8) = 4 + 32 = 36,$$ $$x_{1,2} = \dfrac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \dfrac{2 \pm 6}{2}.$$ Тогда $$x_1 = 4,\quad x_2 = -2.$$ С учётом ОДЗ $$x \le 3$$ подходит только $$x = -2.$$ Проверка показывает, что корень верный.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

     $$x^{2}+\frac{25x^{2}}{(x+5)^{2}}=\frac{125}{4}$$

ОДЗ: $$x+5\neq 0\Rightarrow$$ $$x\neq -5$$

     $$x^{2}+(\frac{5x}{x+5})^{2}+2*\frac{x*5x}{x+5}-2*\frac{x*5x}{x+5}=\frac{125}{4}\Leftrightarrow$$$$(x-\frac{5x}{x+5})^{2}+\frac{10x^{2}}{x+5}=\frac{125}{4}\Leftrightarrow$$$$(\frac{x^{2}+5x-5x}{(x+5)})^{2}+10*\frac{x^{2}}{x+5}-\frac{125}{4}=0\Leftrightarrow$$$$(\frac{x^{2}}{x+5})^{2}+10*\frac{x^{2}}{x+5}-\frac{125}{4}=0$$

     Пусть $$\frac{x^{2}}{x+5}=y$$: $$y^{2}+10y-\frac{125}{4}=0$$

     $$\left[\begin{matrix}\frac{x^{2}}{x+5}=\frac{5}{2}\\\frac{x^{2}}{x+5}=-\frac{25}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}2x^{2}-5x-25=0(1)\\2x^{2}+25x+125=0(2)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$ $$\left[\begin{matrix}x=5\\x=-2,5\end{matrix}\right.$$

1) D=25+200=225: $$\left[\begin{matrix}x_{1}=\frac{5+15}{4}=5\\x_{2}=\frac{5-15}{4}=-\frac{5}{2}\end{matrix}\right.$$

2) D=625-1000<0 - решений нет

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$x^{2}(x-2)^{3}=x^{4}(x-2)$$ $$x^{4}(x-2)-x^{2}(x-2)^{3}=0$$ $$x^{2}(x-2)((x-2)^{2}-x^{2})=0$$ $$x^{2}(x-2)(x-2-x)(x-2+x)=0$$ $$\left\{\begin{matrix}x=0 \\x-2=0 \\2x-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow$$$$\left\{\begin{matrix}x=0 \\x=2 \\x=1\end{matrix}\right.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Группируем слагаемые: $$x^3 + 3x^2 - x - 3 = x^2(x+3) - 1(x+3).$$

2) Выносим общий множитель: $$(x+3)(x^2 - 1) = 0.$$

3) Раскладываем квадратный множитель: $$x^2 - 1 = (x-1)(x+1),$$ поэтому $$(x+3)(x-1)(x+1) = 0.$$

4) Приравниваем каждый множитель к нулю: $$x+3 = 0,\quad x-1 = 0,\quad x+1 = 0.$$ Отсюда $$x = -3,\; 1,\; -1.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

1) Переносим всё в одну часть: $$x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = 0.$$

2) Группируем: $$x^2(x+4) - 9(x+4) = 0.$$

3) Выносим общий множитель: $$(x+4)(x^2 - 9) = 0.$$

4) Разложение квадратного множителя: $$x^2 - 9 = (x-3)(x+3).$$ Тогда $$(x+4)(x-3)(x+3) = 0.$$

5) Приравниваем множители к нулю: $$x+4=0,\quad x-3=0,\quad x+3=0.$$ Получаем: $$x = -4,\; 3,\; -3.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$x^6=-(7x+10)^3\leftrightarrow x^2=-(7x-10)\leftrightarrow x^2+7x+10=0.$$ Из этого получаем два уравнения:

1) $$x_1+x_2=-7\to x_1=-2$$

2) $$x_1\cdot x_2=10\to x_2=-5$$

1) Представим числа через простые множители:

$$18=2\cdot 3^2 \Rightarrow 18^{\,n+3}=2^{\,n+3}\cdot 3^{\,2(n+3)}=2^{\,n+3}\cdot 3^{\,2n+6}.$$

2) Подставим это в дробь:

$$\frac{2^{\,n+3}\cdot 3^{\,2n+6}}{3^{2n+5}\cdot 2^{\,n-2}}.$$

3) Сократим степени двойки:

$$2^{\,n+3}\div 2^{\,n-2}=2^{\,5}.$$

4) Сократим степени тройки:

$$3^{\,2n+6}\div 3^{\,2n+5}=3^{1}=3$$.

5) Итог:$$2^{5}\cdot 3=32\cdot 3=96.$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\frac{5^{n}\cdot5-\frac{5^{n}}{5}}{2\cdot5^{n}}=\frac{5^{n}(5-\frac{1}{5})}{2\cdot2^{n}}=\frac{4,8}{2}=2,4$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

$$\frac{6-2a-2}{a-1}-\frac{10}{(a-1)^{2}}\cdot\frac{(a-1)(a+1)}{10}=$$ $$\frac{4-2a}{a-1}-\frac{a+1}{a-1}=\frac{4-2a-a-1}{a-1}=$$ $$\frac{-3a+3}{a-1}=\frac{-3(a-1)}{a-1}=-3$$

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!