(C4) Геометрическая задача на вычисление
Задание 4275
Середины двух соседних сторон и не принадлежащая им вершина ромба соединены друг с другом отрезками прямых. Найдите площадь получившегося треугольника, если сторона ромба равна $$4$$ см, а острый угол равен $$60^{\circ}$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
$$BH=DM=2$$ $$S_{\bigtriangleup ABH}=S_{\bigtriangleup ADM}=$$ $$=\frac{1}{2}\cdot2\cdot4\cdot\sin120^{\circ}=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$$ $$S_{\bigtriangleup CMH}=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2\cdot\sin60^{\circ}=\sqrt{3}$$ $$S_{ABCD}=4\cdot4\cdot\sin120^{\circ}=\frac{16\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3}$$ $$S_{AHM}=8\sqrt{3}-2\cdot2\sqrt{3}-\sqrt{3}=3\sqrt{3}$$
Задание 3265
Средняя линия трапеции равна $$10$$ и делит площадь трапеции в отношении $$3:5$$. Найти длины оснований этой трапеции.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть BC=x , тогда , т.к. MN-средняя линия , то BC+AD=2MN $$\Rightarrow$$ AD=2MN-BC=20-x
2) Пусть BK –высота и BH=HK=y. Тогда :
$$\frac{x+10}{2}*y=S_{MBCN}$$
$$\frac{10+20-x}{2}*y=S_{AMND}$$
Получаем:
$$\frac{\frac{10+x}{2}*y}{\frac{30-x}{2}*y}=\frac{3}{5}\Leftrightarrow$$ $$\frac{10+x}{30-}=\frac{3}{5}\Leftrightarrow$$ $$50+5x=90-3x\Leftrightarrow$$ $$8x=40\Leftrightarrow x=5$$, тогда: BC=5, AD=15
Задание 4499
Сторона $$AB$$ треугольника $$ABC$$ разделена на три равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне $$AC$$. Найдите площадь трапеции, заключенной между ними, если площадь треугольника равна $$93$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
|
$$\bigtriangleup BKP\sim \bigtriangleup BML\sim \bigtriangleup ABC$$ $$BK=\frac{1}{3}AB$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{KBP}=\frac{1}{9}S_{ABC}=\frac{1}{9}\cdot93=10\frac{1}{3}$$ |
Задание 2268
Стороны $$AC$$, $$AB$$, $$BC$$ треугольника $$ABC$$ равны $$2\sqrt{2}$$, $$5$$ и $$1$$ соответственно. Точка $$K$$ расположена вне треугольника $$ABC$$, причём отрезок $$KC$$ пересекает отрезок $$AB$$ в точке, отличной от $$B$$. Известно, что треугольник с вершинами $$K$$, $$A$$, $$C$$ подобен треугольнику $$ABC$$ . Найдите градусную меру угла $$AKC$$ , если $$\angle KAC>90^{\circ}$$ .
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 1534
Точка $$H$$ является основанием высоты $$BH$$, проведённой из вершины прямого угла $$B$$ прямоугольного треугольника $$ABC$$. Окружность с диаметром $$BH$$ пересекает стороны $$AB$$ и $$CB$$ в точках $$P$$ и $$K$$ соответственно. Найдите $$BH$$, если $$PK=11$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 4522
Точка $$M$$ лежит внутри равнобедренного треугольника $$ABC$$ с основанием $$AC$$ на расстоянии $$6$$ см от боковых сторон и на расстоянии $$\sqrt{3}$$ см от основания. Найдите основание треугольника, если $$\angle B=120^{\circ}$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
|
1) $$\bigtriangleup BMC$$ - прямоугольный: $$\frac{CM}{BM}=\sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$; $$\frac{6}{BM}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\Rightarrow$$ $$BM=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}$$ 2) $$BK=BM+MK=4\sqrt{3}+\sqrt{3}=5\sqrt{3}$$ 3) $$\tan 60^{\circ}=\frac{AK}{BK}$$ (из $$\bigtriangleup ABK$$) $$\sqrt{3}=\frac{x}{5\sqrt{3}}$$ $$\Rightarrow$$ $$x=15$$ $$\Rightarrow$$ $$AC=15\cdot2=30$$ |
Задание 800
Углы $$B$$ и $$C$$ треугольника $$ABC$$ равны соответственно $$61^{\circ}$$ и $$89^{\circ}$$. Найдите $$BC$$, если радиус окружности, описанной около треугольника $$ABC$$, равен $$10$$.
По сумме углов треугольника:
$$\angle A=180^{\circ}-61^{\circ}-89^{\circ}=30^{\circ}$$
По теореме синусов:
$$2R=\frac{BC}{\sin A}$$
$$BC=2R\cdot\sin A=2\cdot 10\cdot\sin 30^{\circ}=2\cdot 10\cdot 0.5=10$$
Задание 3863
Углы, образуемые диагоналями ромба с одной из его сторон относятся как $$2:3$$. Найдите углы ромба.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3143
Хорда круга пересекает диаметр под углом $$30$$ и делит его на части длиной $$11$$ см и $$55$$ см. Найдите расстояние от центра круга до хорды.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) $$AB=AH+HB=66$$$$\Rightarrow$$ $$OA=OB=33$$(радиусы)
2) $$OH=OB-HB=33-11=22$$
3) из $$\Delta OHM$$: $$OM=OH*\sin OHM$$; $$OM=22*\frac{1}{2}=11$$
Задание 3956
Через концы хорды, длина которой $$30$$, проведены две касательные, до пересечения в точке $$A$$. Найдите расстояние от точки $$A$$ до хорды, если радиус окружности равен $$17$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Треугольник OCD - равнобедренный (OC=OD - Радиусы). Треугольник OCA равен треугольнику OAD (оба прямоугольные по свойству касательной и радуиса в точку касания, AC=AD по свойству касательной, OA - общая). Тогда углы COA и DOA равны, тогда треугольники COH и OHD равны. Тогда $$CH=\frac{1}{2}CB=15$$; $$OH=\sqrt{OC^{2}-CH^{2}}=\sqrt{17^{2}-15^{2}}=8$$;
2) Пусть $$CA=x$$,$$HA=y$$, тогда по теореме Пифагора и по формуле высоты прямоугольного треугольника как произведение катетов деленное на гипотенузу:
$$\left\{\begin{matrix}CA^{2}+CO^{2}=OA^{2}\\CH=\frac{OC\cdot CA}{OA}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+17^{2}=(8+y)^{2}\\15=\frac{17\cdot x}{8+y}\end{matrix}\right.$$ $$\Leftrightarrow$$ $$120+15y=17\cdot x$$; $$y=\frac{17x-120}{15}$$; $$x^{2}+289=(8+\frac{17x-120}{15})^{2}$$; $$x^{2}+289=\frac{289x^{2}}{225}$$; $$225x^{2}+289\cdot225=289x^{2}$$ $$\Leftrightarrow$$ $$64x^{2}=289\cdot225$$;$$x=\frac{17\cdot15}{8}=31,875$$; $$y=28,125=28\frac{1}{8}$$