(C4) Геометрическая задача на вычисление
Задание 1775
В трапеции $$ABCD$$ основание $$AD$$ вдвое больше основания $$BC$$ и вдвое больше боковой стороны $$CD$$. Угол $$ADC$$ равен $$60^{\circ}$$, сторона $$AB$$ равна $$6$$. Найдите площадь трапеции.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2831
В треугольник вписана окружность с радиусом $$4$$. Одна из сторон треугольника разделена точкой касания на отрезки, длины которых $$6$$ и $$8$$. Найдите дины сторон треугольника.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3382
В треугольник со сторонами $$AB=8$$, $$BC=6$$, $$AC=4$$ вписана окружность. Найдите длину отрезка $$DE$$, где $$D$$, $$E$$ – точки касания этой окружности со сторонами $$AB$$ и $$AC$$ соответственно.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть O-центр окружности , тогда: $$OD\perp AB OE\perp AC$$ (свойство радиуса к касательной)
2) $$OD=OC=\frac{S}{p}=$$$$\sqrt{\frac{(p-a)(p-b)(p-c)}{p}}$$ (формула Герона); $$p=\frac{8+6+4}{2}=9$$; $$OD=\sqrt{\frac{(9-6)(9-8)(9-4)}{9}}=$$$$\sqrt{\frac{3*1*5}{9}}=\sqrt{\frac{5}{3}}$$
3) $$\cos A=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2*AB*AC}=\frac{8^{2}+4^{2}-6^{2}}{2*8*4}=\frac{11}{16}$$ (теорема косинусов)
4) $$\angle DOE=180-\angle A\Rightarrow$$ $$\cos DOE=-\cos A=-\frac{11}{16}$$
5)$$\Delta DOE$$: $$DE=\sqrt{DO^{2}+OE^{2}-2DO*OE*\cos DOE}=$$$$\sqrt{\frac{5}{3}+\frac{5}{3}+2\frac{5}{3}*\frac{11}{16}}=$$$$\sqrt{\frac{10}{36}+\frac{110}{16*3}}=$$$$\sqrt{\frac{270}{16*3}}=\sqrt{\frac{90}{16}}=\frac{3\sqrt{10}}{4}$$
Задание 4191
В треугольнике $$ABC$$ $$AB=BC= 4$$ см. $$AE=3$$ см – медиана треугольника. Найдите $$AC$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) из $$\bigtriangleup ABE$$:
$$\cos B=\frac{AB^{2}+BE^{2}-AE^{2}}{2AB\cdot BC}=\frac{4^{2}+2^{2}-3^{2}}{2\cdot4\cdot2}=\frac{16+4-9}{16}=\frac{11}{16}$$
2) из $$\bigtriangleup ABC$$:
$$AC=\sqrt{AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cdot\cos B}=\sqrt{4^{2}+4^{2}-2\cdot4\cdot4\cdot\frac{11}{16}}=\sqrt{32-22}=\sqrt{10}$$
Задание 4114
В треугольнике $$ABC$$ $$AC=AB$$, медианы $$AM$$ и $$BF$$ пересекаются в точке $$O$$, $$AM:BF=8:5$$. Найдите $$BF$$, если площадь треугольника $$AOF$$ равна $$24$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть $$S_{ABC}=S$$, тогда $$S=2\cdot\frac{1}{2}\cdot AC\cdot AM\sin\alpha=AC\cdot AM\sin\alpha$$; $$S_{AFO}=\frac{1}{2}\cdot AF\cdot AO\sin\alpha=$$ $$\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}AC\cdot\frac{2}{3}AM\sin\alpha=\frac{1}{6}AC\cdot AM\sin\alpha=24$$ $$\Rightarrow$$ $$AC\cdot AM\sin\alpha=144=S$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{1}{2}AM\cdot CB=144$$
2) Пусть $$AM=8x$$ $$\Rightarrow$$ $$BF=5x$$, по свойству медиан: $$OB=\frac{2}{3}BF=\frac{10x}{3}$$; $$OM=\frac{1}{3}AM=\frac{8x}{3}$$; $$MB=\sqrt{OB^{2}-OM^{2}}=\sqrt{(\frac{10x}{3})^{2}-(\frac{8x}{3})^{2}}=\frac{6x}{3}=2x$$ $$\Rightarrow$$ $$CB=4x$$
3) $$\frac{1}{2}AM\cdot CB=144$$; $$\frac{1}{2}\cdot8x\cdot4x=144$$; $$32x^{2}=288$$; $$x^{2}=9$$ $$x=3$$
4) $$BF=5x=5\cdot3=15$$
Задание 4415
В треугольнике $$ABC$$ высота $$BD=11,2$$ см, а высота $$AE=12$$ см. Точка $$E$$ делит сторону $$BC$$ в отношении $$5:9$$, считая от вершины $$B$$. Найти длину стороны $$AC$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Текстовое решение временно отсутствует. Вы можете найти разбор в видео перед вариантом
Задание 2764
В треугольнике $$ABC$$ медианы $$CD$$ и $$BE$$ пересекаются в точке $$K$$. Найдите площадь четырёхугольника $$ADKE$$, если $$BC=20$$, $$AC=12$$, $$\angle ACB=135^{\circ}$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3116
В треугольнике $$ABC$$ на стороне $$AC$$ как на диаметре построена окружность, которая пересекает сторону $$AB$$ в точке $$M$$, а сторону $$BC$$ – в точке $$N$$. Известно, что $$AC=2$$, $$AB=3$$, $$AM:MB=2:3$$. Найдите $$AN$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) $$AM :MB= 2: 3$$, $$AB=3$$$$\Rightarrow$$ $$AM=1,2$$, $$MB=1,8$$
2) $$\Delta AMC$$: $$MC=\sqrt{AC^{2}-AM^{2}}=1,6$$
3) $$\Delta MBC$$: $$BC=\sqrt{MB^{2}+MC^{2}}=\sqrt{5,8}$$
4) $$\Delta ABN\sim \Delta CMB$$ (оба прямоугольные ,$$\angle B$$ - общий )$$\Rightarrow$$ $$\frac{AN}{MC}=\frac{AB}{BC}$$$$\Rightarrow$$ $$AN=\frac{1,6*3}{\sqrt{5,8}}=\frac{4,8}{\sqrt{5,8}}$$
Задание 3001
В треугольнике $$ABC$$ проведена медиана $$BK$$ и средняя линия $$KE$$, параллельная стороне $$AB$$. Площадь треугольника $$BKE$$ равна 1. Найдите площадь треугольника $$ABC$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) $$S_{BKE}=S_{EKC}$$ (BE=EC,общая вершина ) $$\Rightarrow$$ $$S_{ERC}=1$$
2) $$\frac{S_{EKC}}{S_{ABC}}=(\frac{EK}{AB})^{2}=$$$$\frac{1}{4}\Rightarrow$$ $$S_{ABC} =4$$ (средняя линия равна половине стороны)
Задание 3692
В треугольнике $$ABC$$ угол $$B$$ равен $$72^{\circ}$$, угол $$C$$ равен $$63^{\circ}$$, $$BC=2\sqrt{2}$$. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
1) $$\angle A=180^{\circ}-(\angle B-\angle C)=45^{\circ}$$
2) Пусть $$R$$ - радиус описанной окружности, тогда : $$\frac{BC}{\sin A}=2R$$ $$\Rightarrow$$ $$R=\frac{BC}{\sin A}=\frac{2\sqrt{2}}{2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}=2$$
Задание 1421
В треугольнике $$ABC$$ угол C равен $$90^{\circ}$$, радиус вписанной окружности равен $$3$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$, если $$AB=15$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 2928
В треугольнике с основанием $$15$$ см проведен отрезок, параллельный основанию. Площадь полученной трапеции составляет $$\frac{3}{4}$$ площади треугольника. Найдите длину этого отрезка.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть $$A_{1}C_{1}\left | \right |AC$$, тогда $$S_{AA_{1}C_{1}C}=\frac{3}{4} S_{ABC}$$$$\Rightarrow$$ $$S_{A_{1}BC_{1}}=\frac{1}{4} S_{ABC}$$
2) $$\frac{S_{A_{1}BC_{1}}}{S_{ABC}}=$$$$(\frac{A_{1}C_{1}}{AC})^{2}=$$$$\frac{1}{4}\Rightarrow$$ $$\frac{A_{1}C_{1}}{AC}=\frac{1}{2}$$$$\Rightarrow$$ $$A_{1}C_{1}=7,5$$
Задание 1972
Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как $$6:11:19$$. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна $$15$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Углы A,B,C - вписанные, потому равны половинам соответствующих дуг, потому отношение углов 6:11:29.
2) Т.к. $$\angle A+\angle B+\angle C=180^{\circ},$$ если $$\angle A=6x,$$ то: $$6x+11x+29x=180^{\circ}\to x=5\to \angle A=30^{\circ}.$$
3) Напротив меньшей стороны лежит меньший угол $$\to BC=15. R=\frac{a}{2\sin{\alpha}}=\frac{BC}{2\sin{A}}=\frac{15}{2\cdot \frac{1}{2}}=15$$