Четырёхугольники
Задание 1052
Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями $$8$$ и $$5$$, если отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Пусть ABCD — данный четырёхугольник, O — середина стороны AB, K — середина стороны BC, P — середина стороны CD, H — середина стороны DA. Проведём диагонали AC и BD и отрезки OK, KP, PH и HO, последовательно соединяющие середины сторон четырёхугольника. Тогда, по свойству средней линии треугольника, отрезки OK и PH параллельны диагонали AC и равны её половине, а отрезки KP и HO параллельны диагонали BD и равны её половине. Поэтому OKPH — параллелограмм. А так как, по условию задачи, его диагонали KH и OP равны, то OKPH — прямоугольник, и угол OKP— прямой. Отсюда следует, что и угол между диагоналями AC и BD тоже прямой, и, следовательно, площадь четырёхугольника ABCD будет равна половине произведения его диагоналей, то есть $$\frac{1}{2}\cdot8\cdot5=20$$.
Задание 1400
Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны $$10$$ и $$8$$, а средняя линия равна $$3$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
- Проведем из точки $$C$$ прямую, параллельную $$BD$$, пусть она пересекает $$AD$$ в точке $$K$$.
- $$BC\parallel DK ; BD\parallel CK \Rightarrow BCKD-$$ параллелограмм и $$BC=DK$$, $$BD=CK$$, $$AK=AD+DK=AD+BC$$.
- $$AD+BC=3\cdot 2=6$$ (удвоенная средняя линия)
- Пусть $$CH\perp AD: S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2} \cdot CH=\frac{1}{2} \cdot AK \cdot CH=S_{ACK}$$.
- $$p_{ACK}=\frac{10+8+6}{2}=12$$ По формуле Герона: $$S_{ACK}=\sqrt{12(12-10)(12-8)(12-6)}=\sqrt{12 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 6}=\sqrt{12^2 \cdot 2^2}=24$$
Задание 4235
Один из углов параллелограмма в $$5$$ раз больше другого, а одна из его диагоналей является высотой. Найдите отношение диагоналей параллелограмма
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3405
Около круга радиуса $$2$$ см описана равнобедренная трапеция с острым углом $$30^{\circ}$$. Найдите длину средней линии трапеции.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3980
Около окружности диаметром $$15$$ описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной $$17$$. Найдите длину большего основания трапеции.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) По свойству радиусов .проведенных в точку касания, диаметр и высота трапеции одинаковы, тогда, из треугольника CND по теореме Пифагора: $$ND=\sqrt{CD^{2}-CN^{2}}=\sqrt{17^{2}-15^{2}}=8=AK$$
2) По свойству четырехугольника, описанного около окружности имеем, что $$BC+AD=AB+CD$$. Пусть $$BC=KN=x$$, тогда $$x+8+x+8=17+17$$, тогда $$x=9$$, следовательно, $$AD=8+9+8=25$$
Задание 2904
Около трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$ описана окружность радиуса $$6$$. Центр описанной окружности лежит на основании $$AD$$. Основание $$BC$$ равно $$4$$. Найдите площадь трапеции.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3685
Основания равнобедренной трапеции равны $$8$$ и $$18$$, а периметр равен $$56$$. Найдите площадь трапеции.
1) Пусть $$AB=18$$; $$DC=8$$ $$\Rightarrow$$ $$AD=CB=\frac{56-(18+8)}{2}=15$$
2) Пусть $$CH$$ и $$DM\perp AB$$ $$\Rightarrow$$ $$MN=DC=8$$; $$AD=CB$$; $$DM=CH$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup AMD=\bigtriangleup CHB$$ (по гипотенузе и катету) $$\Rightarrow$$ $$AM=HB=\frac{18-8}{2}=5$$
3) $$CH=\sqrt{CB^{2}-HB^{2}}=\sqrt{15^{2}-5^{2}}=\sqrt{200}=10\sqrt{2}$$
4) $$S_{ABCD}=\frac{AB+CD}{2}\cdot CH=\frac{18+8}{2}\cdot10\sqrt{2}=130\sqrt{2}$$
Задание 2953
Основания трапеции равны $$4$$ см и $$16$$ см. Найдите ее площадь, если известно, что в трапецию можно вписать и вокруг нее можно описать окружность
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Если около нее можно описать окружность , то это равнобедренная трапеция.
2) Если в нее можно вписать окружность, то сумма боковых сторон равна сумме оснований.
3) С учетом (1) и (2): $$AB=CD=\frac{4+16}{2}=10$$
4) Пусть $$CH\perp AD\Rightarrow$$ $$HD=\frac{AD-BC}{2}=\frac{16-4}{2}=6$$
5) по т . Пифагора из $$\Delta CHD$$: $$CH=\sqrt{CD^{2}-HD^{2}}=8$$
6) $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}*CH=10*8=80$$
Задание 3908
Основания трапеции равны $$6$$ см и $$18$$ см. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям, до пересечения с боковыми сторонами. Найдите длину отрезка этой прямой.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) $$\bigtriangleup BOC\sim\bigtriangleup AOD$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{OC}{AO}=\frac{BC}{AD}=\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$$
2) т.к. $$\bigtriangleup AOM\sim\bigtriangleup ABC$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{MO}{BC}=\frac{AO}{AC}$$; $$\frac{AO}{AC}=\frac{AO}{AO+OC}$$; $$OC=\frac{1}{3}AO$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{AO}{AO+OC}=\frac{AO}{AO+\frac{1}{3}AO}=\frac{3}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$MO=\frac{3}{4}BC=4,5$$
3) т.к. $$\bigtriangleup OCN\sim\bigtriangleup ACD$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{ON}{AD}=\frac{OC}{AC}$$; $$\frac{OC}{AC}=\frac{OC}{OC+3OC}=\frac{1}{4}$$ $$\Rightarrow$$ $$ON=\frac{1}{4}AD=4,5$$ $$\Rightarrow$$ $$MN=9$$
Задание 3682
Периметр прямоугольника равен $$56$$, а диагональ равна $$27$$. Найдите площадь этого прямоугольника.
1) Пусть $$AD=x$$, $$DC=y$$, тогда $$2(x+y)=56$$ $$\star$$
2) $$\bigtriangleup ADC$$ - прямоугольный $$\Rightarrow$$ $$AD^{2}+CD^{2}=AC^{2}$$. С учетом $$\star$$: $$\left\{\begin{matrix}x+y=28&\\x^{2}+y^{2}=27^{2}&\end{matrix}\right.$$ $$\Rightarrow$$ $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=784&\\x^{2}+y^{2}=729^{2}&\end{matrix}\right.$$ Подставим из второго в первое: $$729+2xy=784$$ $$\Rightarrow$$ $$2xy=55$$ $$\Rightarrow$$ $$xy=27,5$$
Задание 3027
Перпендикуляр, опущенный из вершины параллелограмма на его диагональ, делит ее на отрезки длиной $$6$$ и $$15$$ см. Найти длины сторон параллелограмма, если одна из них на $$7$$ см больше другой
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть $$BH \perp AC$$ и AH=6 , тогда HC=15/ Пусть AB=x, тогда BC=x+7
2) из $$\Delta ABH$$: $$BH^{2}=AB^{2}-AH^{2}=x^{2}-36$$
3) из $$\Delta BHC$$: $$BH^{2}+HC^{2}=BC^{2}\Leftrightarrow$$ $$x^{2}-36+225=(x+7)^{2}\Leftrightarrow$$ $$x=10=AB\Rightarrow$$ $$BC=17$$
Задание 4053
Площадь равнобедренной трапеции равна $$96$$. Диагональ трапеции делит её тупой угол пополам. Длина меньшего основания равна $$3$$. Найдите периметр трапеции.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Построим рисунок согласно условию задачи.
Задание 3681
Прямая, параллельная основаниям $$MP$$ и $$NK$$ трапеции $$MNKP$$, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции и пересекает её боковые стороны $$MN$$ и $$KP$$ в точках $$A$$ и $$B$$ соответственно. Найдите длину отрезка $$AB$$, если $$MP=40$$ см, $$NK=24$$ см.
1) Пусть $$NP\cap MK=H$$; $$NK\parallel MP$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup NHK\sim\bigtriangleup MHP$$; $$\frac{NK}{MP}=\frac{24}{40}=\frac{3}{5}=\frac{NH}{HP}=\frac{HK}{HM}$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{MK}{MN}=\frac{8}{5}=\frac{NP}{HP}$$
2) $$AB\parallel NK$$ $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup AHM\sim\bigtriangleup MNK$$ $$\Rightarrow$$ $$\frac{NK}{AH}=\frac{MK}{MH}=\frac{8}{5}$$ $$\Rightarrow$$ $$AH=\frac{24\cdot5}{8}=15$$. Аналогично $$\bigtriangleup HBP\sim\bigtriangleup NKP$$ и $$\frac{NK}{HB}=\frac{NP}{HP}=\frac{8}{5}$$ $$\Rightarrow$$ $$HB=15$$ $$\Rightarrow$$ $$AB=30$$
Задание 1415
Прямая, параллельная основаниям трапеции $$ABCD$$, пересекает её боковые стороны $$AB$$ и $$CD$$ в точках $$E$$ и $$F$$ соответственно. Найдите длину отрезка $$EF$$, если $$AD=35$$, $$BC=21$$, $$CF:DF=5:2$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!


