Четырёхугольники
Задание 3289
В равнобедренной трапеции с основаниями $$10$$ и $$26$$ см диагональ является биссектрисой острого угла. Найдите площадь трапеции.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) $$\angle BAC=\angle CAD$$ (AC-бисссектриса), $$\angle CAD=\angle BCA$$ ( накрест лежащие ), тогда $$\angle BAC=\angle ACA$$, следовательно, $$\Delta ABC$$ - равнобедренный, и AB=BC=10
2) Пусть BH=CM - высота, тогда $$AH=MD=\frac{AD-BC}{2}=8$$
3) из $$\Delta ABH:$$ $$BH=\sqrt{AB^{2}-AB^{2}}=6$$
4) $$S_{ABCD}=\frac{10+26}{2}*6=108$$
Задание 3311
В равнобедренную трапецию $$ABCD$$ с основаниями $$BC=18$$ и $$AD=32$$ вписан круг. Найдите площадь трапеции.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) $$BC+AD=AB+CD=18+32=50$$ ( по свойству описанного четырехугольника ), тогда AB=CD=25
2) Пусть $$BH\left | \right |CM \perp AD$$, тогда $$AH=MD=\frac{AD-BC}{2}=7$$
3) По т. Пифагора $$\Delta ABH$$: $$BH=\sqrt{25^{2}-7^{2}}=24$$
4) $$S=\frac{18+32}{2}*24=600$$
Задание 2978
В равнобедренную трапецию вписана окружность радиуса $$2$$ см. Найдите площадь трапеции, если длина боковой стороны равна $$10$$ см
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Пусть O-центр окружности, $$OH\perp BC$$ и $$OM\perp AD$$ (радиусы в точки касания )$$\Rightarrow$$ $$HK=2+2=4$$. Пусть $$CK\left | \right |HM\Rightarrow$$ $$CK=4$$
2) По свойству описанного четырехугольника : $$AB+CD=BC+AD=20$$
3) $$S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}*CK=\frac{20}{2}*4=40$$
Задание 1775
В трапеции $$ABCD$$ основание $$AD$$ вдвое больше основания $$BC$$ и вдвое больше боковой стороны $$CD$$. Угол $$ADC$$ равен $$60^{\circ}$$, сторона $$AB$$ равна $$6$$. Найдите площадь трапеции.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 1642
Высота $$AH$$ ромба $$ABCD$$ делит сторону $$CD$$ на отрезки $$DH=24$$ и $$CH=1$$. Найдите высоту ромба.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3744
Высота прямоугольной трапеции в три раза больше меньшего основания, а большее основание равно $$5$$. Найдите площадь трапеции, если её диагональ является биссектрисой угла при меньшем основании.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1)AC-биссектриса $$\Rightarrow \angle BCA=\angle DCA;$$
$$\angle DAC=\angle BCA$$(накрест)$$\Rightarrow \angle DCA=\angle DAC\Rightarrow AD=CD=5;$$
2)$$CH||AB\Rightarrow AH=BC=x\Rightarrow HD=5-x$$ $$CH=3*x \Rightarrow \Delta CHD:5^{2}=\left ( 5-x \right )^{2}+3*x ^{2};$$
$$25=25-10x +x ^{2}+9x ^{2}\Rightarrow$$ $$10x ^{2}-10x =0\Rightarrow$$ $$10x \left ( x -1 \right )=0\Rightarrow$$$$x =0; x =1;$$
3)$$S=\frac{5+1}{2}*3=9;$$
Задание 2700
Дан ромб $$ABCD$$. Окружность, описанная около треугольника $$ABD$$, пересекает большую диагональ ромба $$AC$$ в точке $$E$$. Найдите меньшую диагональ ромба, если $$AB=16\sqrt{2}$$, $$CE=12$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3680
Диагонали $$AC$$ и $$BD$$ трапеции $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Площади треугольников $$AOD$$ и $$BOC$$ равны соответственно $$16$$ см2 и $$9$$ см2. Найдите площадь трапеции.
1) $$BC\parallel AD$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BCO=\angle OAD$$; $$\angle CBO=\angle ODA$$ (накрестлежащие) $$\Rightarrow$$ $$\bigtriangleup BOC\sim\bigtriangleup AOD$$
2) $$\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}}=\frac{9}{16}$$ см2 $$\Rightarrow$$ $$\frac{BC}{AD}=\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$$ (отношение площадей подобных фигур) $$\Rightarrow$$ $$BO=3x$$ $$\Rightarrow$$ $$DO=4x$$; $$CO=3y$$ $$\Rightarrow$$ $$AO=4y$$
3) $$\angle BOC=\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\angle BOA=180^{\circ}-\alpha$$ $$\Rightarrow$$ $$\sin\angle BOC=\sin\angle BOA$$ (смежные), $$\angle BOA=\angle COD$$; $$\angle BOC=\angle AOD$$ (вертикальные)
4) $$S_{BOA}=\frac{1}{2}\cdot BO\cdot OA\cdot\sin\angle BOA=\frac{1}{2}\cdot3x\cdot4y\cdot\sin\alpha=6xy\sin\alpha$$; $$S_{COD}=\frac{1}{2}\cdot CO\cdot OD\cdot\sin\angle COD=\frac{1}{2}\cdot3y\cdot4x\cdot\sin\alpha=6xy\sin\alpha=S_{BOA}$$; $$S_{BOC}=\frac{1}{2}\cdot BO\cdot OC\cdot\sin\angle BOC=\frac{1}{2}\cdot3x\cdot3y\cdot\sin\alpha=9$$ $$\Rightarrow$$ $$xy\sin\alpha=2$$ $$\Rightarrow$$ $$S_{BOA}=S_{COD}=12$$
5) $$S_{ABCD}=9+2\cdot12+16=49$$
Задание 3165
Диагонали параллелограмма $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. В треугольнике $$AOB$$ $$AB=6$$ см, медиана $$OK=4$$ см. Найдите периметр параллелограмма $$ABCD$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) Построим медиану в $$\Delta DOC$$: $$DL=LC=\frac{CD}{2}$$$$\Rightarrow$$ $$DL=AK$$, но $$DL\left | \right |AK$$$$\Rightarrow$$ $$AKLD$$ - параллелограмм $$\Rightarrow$$ $$AD=KL$$
2) $$\Delta KBO=\Delta ODL$$ ($$DC=KB$$; $$\angle BKO=\angle OLD$$; $$\angle KDO=\angle ODC$$ (накрест лежащие)) $$\Rightarrow$$ $$KO=OL=4$$
3) $$P=(6+8)*2=18$$
Задание 3450
Диагональ равнобедренной трапеции делит пополам угол при её основании. Найдите большее основание трапеции, если её меньшее основание равно $$5$$ см, а высота - $$4,8$$ см.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
- $$\angle BAC=\angle CAD$$ (AC - биссектрисса)
- $$\angle CAD=\angle BCA$$ (накрест лежащие при параллельных), следовательно треугольник ABC - равнобедренный и $$AB=BC=CD=5$$
- Проведем перпендикуляры BM и CH к AD. Из треугольника CHD: $$HD=\sqrt{CD^{2}-CH^{2}}=\sqrt{5^{2}-4,8^{2}}=1,4$$
- $$AM=HD=1,4$$, тогда $$AD=5+1,4*2=7,8$$
Задание 4356
Длина средней линии трапеции равна $$5$$ см, а длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна $$3$$ см. Найдите длину большего основания, если углы при нем равны $$30^{\circ}$$ и $$60^{\circ}$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) $$\angle H=180^{\circ}-\angle A-\angle D=180^{\circ}-60^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$$ $$\Rightarrow$$
$$\bigtriangleup AHD$$ - прямоугольный $$\Rightarrow$$
HL - медиана; HL=AL=LP
2) $$KZ=ZL=1,5$$; $$MZ=ZN=2,5$$
Пусть $$KC=x$$; $$LD=y$$ $$\Rightarrow$$ $$KH=HL-KL=y-3$$
3) $$\bigtriangleup HZN\sim \bigtriangleup HLD$$: $$\frac{HZ}{HL}=\frac{ZN}{LD}$$ $$\Leftrightarrow$$
$$\frac{y-1,5}{y}=\frac{2,5}{y}$$
$$y^{2}-1,5y=2,5y$$
$$y^{2}-4y=0$$
$$y=0$$ (не подходит) и $$y=4$$ $$\Rightarrow$$
$$AD=2\cdot4=8$$
Задание 1104
Каждое основание $$AD$$ и $$BC$$ трапеции $$ABCD$$ продолжено в обе стороны. Биссектрисы внешних углов $$A$$ и $$B$$ этой трапеции пересекаются в точке $$P$$, биссектрисы внешних углов $$C$$ и $$D$$ пересекаются в точке $$R$$. Найдите периметр трапеции $$ABCD$$, если длина отрезка $$PR$$ равна $$24$$.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
Задание 3933
Меньшее основание прямоугольной трапеции равно $$12,5$$ см, а большая диагональ является биссектрисой угла при большем основании и равна $$20$$ см. Найдите площадь трапеции.
Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!
1) $$\angle BDC=\angle ADB$$ (BD - биссект.); $$\angle CDB=\angle BDA$$ (накрестлежащие); $$\Rightarrow$$ $$\angle CBD=\angle BCD$$ $$\Rightarrow$$ $$BC=CD=12,5$$
2) $$CH$$ - высота, тогда $$AH=HD=12,5$$. Пусть $$AB=CH=x$$, $$HD=y$$,тогда: из $$\bigtriangleup CHD$$ и $$\bigtriangleup ABD$$: $$\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}=(12,5)^{2}\\x^{2}+(12,5+y)^{2}=20^{2}\end{matrix}\right.$$
$$20^{2}-(12,5+y)^{2}+y^{2}=12,5^{2}$$; $$400-12,5^{2}-25y-y^{2}+y^{2}-12,5^{2}=0$$; $$400-312,5=25y$$; $$y=3,5$$ $$\Rightarrow$$ $$x=\sqrt{400-256}=12$$
3) $$S=\frac{12,5+12,5+3,5}{2}\cdot12=171$$