Разные задачи

1) Раскроем модуль по определениям:

При $$x \ge 0$$: $$y = x^2 + 4x - 5.$$ (на рисунке синим пунктиром) При $$x < 0$$: $$y = x^2 - 4x - 5.$$ (на рисунке красным пунктиром)

Это две параболы, открытые вверх. Первая имеет вершину при $$x = -2,$$ вторая — при $$x = 2,$$ обе вершины ниже точки пересечения при $$x = 0.$$ С учетом раскрытия модуля, на графике функции остаётся только правая ветвь первой параболы ($$y = x^2 + 4x - 5.$$ для $$x \ge 0$$) и левая ветвь второй параболы ($$y = x^2 - 4x - 5.$$ для $$x < 0$$).

2) Любая прямая, параллельная оси абсцисс, имеет уравнение $$y = k.$$ Она может пересечь левую ветвь графика не более чем в одной точке и правую ветвь — тоже не более чем в одной точке.

Значит, максимальное возможное число точек пересечения — две.

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Больше разборов вы найдете на моем ютуб-канале! Не забудьте подписаться!

Подставим первое уравнение во второе: $$x^2+(2x+b)^2=5$$ $$x^2 + 4x^2 + 4bx + b^2 - 5 = 0$$ $$5x^2 + 4bx + (b^2-5) = 0$$ Так как прямая и окружность касаются, т.е. имеют одну общую точку $$⇒ D=0$$ $$D = (4b)^2 - 4\cdot5\cdot(b^2-5) = 0$$ $$16b^2-20b^2+100 = 0$$ $$4b^2 = 100$$ $$b^2 = 25$$ $$b = \pm5$$ при $$b=-5$$: $$x = \frac{-4b}{10} = \frac{-4\cdot(-5)}{10} = 2$$ - не подходит, так как абсцисса отрицательна при $$b=5$$: $$x = \frac{-4b}{10} = \frac{-4\cdot5}{10} = - 2$$ $$x=-2,\; b=5$$ $$y=2x+b = -4+5 = 1$$ $$(-2;1)$$