Задание 6009
Задание 6009
В треугольнике $$ABC$$ $$EF$$ — средняя линия. Площадь треугольника $$BEF$$ равна $$4$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$.
1. Так как $$EF$$ — средняя линия, треугольник $$BEF$$ подобен треугольнику $$ABC$$ с коэффициентом $$k = \frac{1}{2}$$.
2. Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:
$$\frac{S_{BEF}}{S_{ABC}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$
3. Найдём площадь треугольника $$ABC$$:
$$S_{ABC} = 4 \cdot S_{BEF} = 4 \cdot 4 = 16$$
Задание 6012
В треугольнике $$ABC$$ $$DF$$ — средняя линия. Площадь треугольника $$ADF$$ равна $$27$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$.
1. Так как $$DF$$ — средняя линия, треугольник $$ADF$$ подобен треугольнику $$ABC$$ с коэффициентом $$k = \frac{1}{2}$$.
2. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
$$\frac{S_{ADF}}{S_{ABC}} = \frac{1}{4}$$
3. Следовательно, площадь треугольника $$ABC$$ в $$4$$ раза больше:
$$S_{ABC} = 4 \cdot S_{ADF} = 4 \cdot 27 = 108$$
Задание 6011
В треугольнике $$ABC$$ $$EF$$ — средняя линия. Площадь треугольника $$BEF$$ равна $$6$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$.
1. Средняя линия отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом $$k = \frac{1}{2}$$.
2. Следовательно, площадь исходного треугольника в $$2^2 = 4$$ раза больше площади отсечённого:
$$S_{ABC} = 4 \cdot S_{BEF}$$
3. Подставим известное значение:
$$S_{ABC} = 4 \cdot 6 = 24$$
Задание 6010
В треугольнике $$ABC$$ $$EF$$ — средняя линия. Площадь треугольника $$BEF$$ равна $$8$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$.
1. По определению средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. Значит, сторона $$EF$$ относится к стороне $$AC$$ как $$1:2$$. Это означает, что треугольник $$BEF$$ подобен треугольнику $$ABC$$ с коэффициентом подобия $$k = \frac{1}{2}$$.
2. Вспомним свойство площадей подобных фигур: отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:
$$\frac{S_{BEF}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$
3. Из этого соотношения следует, что площадь большего треугольника $$ABC$$ в $$4$$ раза больше площади треугольника $$BEF$$:
$$S_{ABC} = 4 \cdot S_{BEF} = 4 \cdot 8 = 32$$