Радиус окружности, описанной около квадрата, равен $$28\sqrt{2}$$. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Найдите площадь десятиугольника $$A_1A_2\ldots A_{10}$$, если известно, что $$\vec{A_1A_2} = (0,1)$$, $$\vec{A_1A_3} = (-2, 1)$$, $$\vec{A_1A_4} = (2, -1)$$, $$\vec{A_1A_5} = (-1, -1)$$, $$\vec{A_1A_6} = (-1, -3)$$, $$\vec{A_1A_7} = (2, -3)$$, $$\vec{A_1A_8} = (2, -4)$$, $$\vec{A_1A_9} = (3, -4)$$, $$\vec{A_1A_{10}} = (3, 0).$$

Дан квадрат $$ABCD$$. На его диагонали $$DB$$ отмечены точки $$E$$, $$F$$, $$G$$ таким образом, что $$DE = EF = FG = GB$$ (см. рисунок). Пусть $$H$$ — точка пересечения прямых $$AD$$ и $$CE$$, а $$I$$ — точка пересечения прямых $$HF$$ и $$BC$$. Найдите сумму площадей треугольников $$ABG$$, $$FGI$$, $$HFE$$ и $$DEC$$, если известно, что $$AC = 12\sqrt{2}$$.

Какие из следующих утверждений верны? Если верных утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания без пробелов, запятых и других разделительных символов.

1. Если катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно $$6$$ и $$10$$, то второй катет этого треугольника равен $$8$$.
2. Любые два равнобедренных треугольника подобны.
3. Любые два прямоугольных треугольника подобны.
4. Треугольник $$ABC$$, у которого $$AB = 3$$, $$BC = 4$$, $$AC = 5$$, является тупоугольным.

Разложите на множители с целыми коэффициентами: $$a^4 - a^2 - 2a - 1$$

На изготовление $$231$$ детали ученик тратит на $$11$$ часов больше, чем мастер на изготовление $$462$$ таких же деталей.Известно, что ученик за час делает на $$4$$ детали меньше, чем мастер. Сколько деталей в час делает ученик?

При каких значениях $$p$$ вершины парабол $$y = x^2 + 4px - 1$$ и $$y = -x^2 + 6px - p$$ расположены по разные стороны от оси $$x$$?

Отрезки $$AB$$ и $$DC$$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$M$$. Найдите $$MC$$, если $$AB=10$$, $$DC=25$$, $$AC=56$$.

Тарифы

По двум параллельным железнодорожным путям в одном направлении следуют пассажирский и товарный поезда, скорости которых равны соответственно $$100$$ км/ч и $$80$$ км/ч. Длина товарного поезда равна $$2100$$ метрам. Найдите длину пассажирского поезда, если время, за которое он прошёл мимо товарного поезда, равно $$7,5$$ мин. Ответ дайте в метрах.