На клетчатой бумаге изображена трапеция $$ABCD$$. Найдите длину её средней линии, если известно, что $$AD = 3\sqrt{2}$$.

Дан правильный шестиугольник $$ABCDEF$$ и равные друг другу шесть правильных треугольников $$GID$$, $$JIG$$, $$HIJ$$, $$HGL$$, $$MHL$$, $$AHM$$ (см. рисунок). Найдите сумму площадей этих шести треугольников, если известно, что площадь шестиугольника $$ABCDEF$$ равна $$90$$.

Какие из следующих утверждений верны? Если верных утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания без пробелов, запятых и других разделительных символов.

1. В треугольнике против меньшего угла лежит меньшая сторона.
2. В треугольнике против меньшей стороны лежит больший угол.
3. В треугольнике против меньшей стороны лежит меньший угол.
4. В треугольнике $$ABC$$, в котором внутренние углы $$\angle A = 40^{\circ}$$, $$\angle B = 60^{\circ}$$, сторона $$AC$$ наибольшая.

Разложите на множители с целыми коэффициентами: $$a^4 - 2a^3 + a^2 - 1$$

Из пункта $$A$$ в пункт $$B$$, расположенный ниже по течению реки, отправился плот. Одновременно навстречу ему из пункта $$B$$ вышел катер. Встретив плот, катер сразу повернул и поплыл назад. Какую часть пути от $$A$$ до $$B$$ пройдет плот к моменту возвращения катера в пункт $$B$$, если скорость катера в стоячей воде вчетверо больше скорости течения реки?

Первая прямая проходит через точки $$\left(0;\,\frac{9}{2}\right)$$ и $$(3;\,6)$$. Вторая прямая проходит через точки $$(1;\,2)$$ и $$(-4;\,7)$$. Найдите координаты общей точки этих двух прямых.

Диагонали $$AC$$ и $$BD$$ трапеции $$ABCD$$ пересекаются в точке $$O$$. Площади треугольников $$AOD$$ и $$BOC$$ равны соответственно $$25$$ и $$16$$. Найдите площадь трапеции.

Через точку $$O$$ пересечения диагоналей параллелограмма $$ABCD$$ проведена прямая, пересекающая стороны $$AB$$ и $$CD$$ в точках $$E$$ и $$F$$ соответственно. Докажите, что отрезки $$AE=CF$$.

В треугольнике $$ABC$$ биссектриса угла $$A$$ делит высоту, проведённую из вершины $$B$$, в отношении $$5:4$$, считая от точки $$B$$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $$ABC$$, если $$BC=12$$.

Решите уравнение: $$x^2 + 3x - 18 + 4\sqrt{x^2 + 3x - 6} = 0$$. В ответе укажите сумму действительных корней этого уравнения.