Задание 827
Задание 827
При каких значениях $$p$$ вершины парабол $$y = x^2 + 4px - 1$$ и $$y = -x^2 + 6px - p$$ расположены по разные стороны от оси $$x$$?
Координата $$x$$ вершины параболы определяется по формуле $$x_n=-\frac{b}{2a}.$$ Координата $$y_в$$ вершины находится подстановкой $$x_в$$ в уравнение параболы. Вершины парабол будут находится по разные стороны от оси $$x,$$ если координаты их вершин имеют разные знаки. Вспомнив, что два сомножителя имеют разный знак тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно, составим и решим неравенство:
$$(4p^2-8p^2-1)(-9p^2+18p^2-p)<0\Leftrightarrow(-4p^2-1)(9p^2-p)<0$$
Заметим, что первый множитель всегда меньше нуля, поэтому на него можно разделить.
$$9p(p-\frac{1}{9})>0\Leftrightarrow p(p-\frac{1}{9})>0$$
Произведение двух сомножителей будет больше нуля, если сомножители имеют одинаковый знак (см. рис.). Таким образом, получаем ответ:
$$\left[\begin{matrix} p<0\\ p>\frac{1}{9} \end{matrix}\right.$$