Планиметрия: задачи, связанные с углами

Пусть $$CH$$ – высота, а $$CM$$ – биссектриса треугольника $$ABC$$.

1. Пусть меньший угол треугольника равен $$A$$. Тогда в прямоугольном треугольнике $$ACH$$ имеем $$\angle ACH = 90^\circ - \angle A.$$

2. Биссектриса $$CM$$ делит прямой угол $$C = 90^\circ$$ на два угла по $$45^\circ$$, значит $$\angle ACM = 45^\circ.$$

3. Угол между высотой и биссектрисой равен $$\angle MCH = (90^\circ - A) - 45^\circ = 45^\circ - A.$$ По условию он равен $$14^\circ$$, значит $$45^\circ - A = 14^\circ,$$ откуда $$A = 31^\circ.$$

1. Формула высоты равностороннего треугольника:

$$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$

2. Подставим значение высоты $$47\sqrt{3}$$:

$$\frac{a\sqrt{3}}{2} = 47\sqrt{3}$$

3. Разделим обе части на $$\sqrt{3}$$:

$$\frac{a}{2} = 47$$

4. Найдем сторону $$AB$$:

$$a = 47 \cdot 2 = 94$$

1. В ромбе сумма соседних углов равна $$180^{\circ}$$:

$$\angle ABC = 180^{\circ} - \angle BCD = 180^{\circ} - 48^{\circ} = 132^{\circ}$$

2. Диагональ ромба делит угол пополам:

$$\angle DBA = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{132^{\circ}}{2} = 66^{\circ}$$

1. Так как $$AB=BC$$, треугольник $$ABC$$ — равнобедренный с основанием $$AC$$. Следовательно, углы при основании равны:

$$\angle A = \angle ACB$$

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AHC$$. Высота $$CH$$ перпендикулярна стороне $$AB$$, значит $$\angle AHC = 90^{\circ}$$. Гипотенуза — $$AC$$, катет — $$CH$$.

3. Найдём синус угла $$A$$:

$$\sin A = \frac{CH}{AC} = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} = 0,5$$

4. Так как $$\angle A = \angle ACB$$, то:

$$\sin(\angle ACB) = 0,5$$

1. Так как $$AC=BC$$, высота к стороне $$AB$$ делит её пополам. Найдём длину отрезка $$AH$$:

$$AH = \frac{AB}{2} = \frac{28}{2} = 14$$

2. В прямоугольном треугольнике $$ACH$$:

$$\cos A = \frac{AH}{AC} = \frac{14}{20} = 0,7$$

1. Так как $$AC=BC$$, треугольник $$ABC$$ является равнобедренным с основанием $$AB$$. Следовательно, углы при основании равны:

$$\angle BAC = \angle ABC$$

2. Высота $$AH$$ проведена к стороне $$BC$$, значит $$AH \perp BC$$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABH$$. Угол $$AHB$$ равен $$90^{\circ}$$, гипотенузой является сторона $$AB$$, а катетом — высота $$AH$$.

3. Найдём синус угла $$ABC$$ в треугольнике $$ABH$$:

$$\sin(\angle ABC) = \frac{AH}{AB} = \frac{3}{10} = 0,3$$

4. Так как $$\angle BAC = \angle ABC$$, то:

$$\sin(\angle BAC) = 0,3$$

Так как $$AD$$ – биссектриса, то $$\angle CAD = \angle BAD = 44^\circ$$.

Угол $$A = \angle CAD + \angle BAD = 44^\circ + 44^\circ = 88^\circ$$.

Сумма углов треугольника: $$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$.

$$88^\circ + \angle B + 68^\circ = 180^\circ$$

$$\angle B = 180^\circ - 156^\circ = 24^\circ$$.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

$$CD = AD = BD$$, поэтому треугольник $$ACD$$ – равнобедренный.

Угол $$ACD = \angle CAD = 90^\circ - 29^\circ = 61^\circ$$.

1. Так как $$EF$$ — средняя линия, треугольник $$BEF$$ подобен треугольнику $$ABC$$ с коэффициентом $$k = \frac{1}{2}$$.

2. Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{BEF}}{S_{ABC}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$

3. Найдём площадь треугольника $$ABC$$:

$$S_{ABC} = 4 \cdot S_{BEF} = 4 \cdot 4 = 16$$

1. По определению средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. Значит, сторона $$EF$$ относится к стороне $$AC$$ как $$1:2$$. Это означает, что треугольник $$BEF$$ подобен треугольнику $$ABC$$ с коэффициентом подобия $$k = \frac{1}{2}$$.

2. Вспомним свойство площадей подобных фигур: отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$$\frac{S_{BEF}}{S_{ABC}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$$

3. Из этого соотношения следует, что площадь большего треугольника $$ABC$$ в $$4$$ раза больше площади треугольника $$BEF$$:

$$S_{ABC} = 4 \cdot S_{BEF} = 4 \cdot 8 = 32$$

1. Так как $$AC = BC$$, треугольник $$ABC$$ является равнобедренным с основанием $$AB$$. Поэтому углы при основании равны: $$\angle A = \angle B.$$

2. Внешний угол при вершине $$B$$ равен сумме двух внутренних несмежных углов: $$111^\circ = \angle A + \angle C.$$

Сумма углов треугольника: $$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ,$$ подставим $$\angle B = \angle A$$: $$2\angle A + \angle C = 180^\circ.$$

Подставим $$\angle C = 111^\circ - \angle A$$: $$2\angle A + 111^\circ - \angle A = 180^\circ,$$ $$\angle A = 69^\circ.$$

Тогда $$\angle C = 111^\circ - 69^\circ = 42^\circ.$$

Решение:

1. По условию $$BD$$ и $$CE$$ — высоты, значит:

$$\angle AEO = 90^{\circ}, \quad \angle ADO = 90^{\circ}$$

2. Рассмотрим четырёхугольник $$AEOD$$. Сумма его углов равна $$360^{\circ}$$:

$$\angle DOE = 360^{\circ} - \angle A - \angle AEO - \angle ADO = 360^{\circ} - 44^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} = 136^{\circ}$$

1. Так как $$AC = BC$$, треугольник $$ABC$$ является равнобедренным с основанием $$AB$$. Поэтому углы при основании равны: $$\angle A = \angle B.$$

2. Сумма углов треугольника: $$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ.$$

Подставим значения: $$\angle A + \angle A + 100^\circ = 180^\circ.$$

Следовательно: $$2\angle A = 80^\circ,$$ откуда $$\angle A = 40^\circ.$$

1. Сумма углов треугольника $$ABC$$ равна $$180^{\circ}$$, поэтому:

$$\angle A + \angle B = 180^{\circ} - \angle C = 180^{\circ} - 58^{\circ} = 122^{\circ}$$

2. Найдём угол $$AOB$$:

$$\angle AOB = 180^{\circ} - \frac{\angle A + \angle B}{2} = 180^{\circ} - \frac{122^{\circ}}{2} = 180^{\circ} - 61^{\circ} = 119^{\circ}$$