Дан полукруг диаметром $$AB$$ площадью $$50\pi$$. Три равных друг другу прямоугольных треугольника $$ACD$$, $$DCE$$ и $$DFG$$ расположены таким образом, что точки $$C$$ и $$E$$ лежат на отрезке $$AB$$, а точка $$G$$ лежит на полуокружности диаметром $$AB$$ (см. рис.). Найдите длину отрезка $$DE$$.

В окружность вписан равносторонний восьмиугольник $$ABCDEFGH$$. Найдите градусную меру угла $$ACE$$.

Прямая, параллельная стороне $$AC$$ треугольника $$ABC$$, пересекает стороны $$AB$$ и $$BC$$ в точках $$M$$ и $$N$$ соответственно, $$AC = 16$$, $$MN = 12$$. Площадь треугольника $$ABC$$ равна $$80$$. Найдите площадь треугольника $$MBN$$.

Какие из следующих утверждений верны? Если верных утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания без пробелов, запятых и других разделительных символов.

1. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную этой прямой.
2. Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует.
3. Если в ромбе один из углов равен $$90^{\circ}$$, то такой ромб — квадрат.
4. Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника.

Расстояние между городами $$A$$ и $$B$$ равно $$750$$ км. Из города $$A$$ в город $$B$$ со скоростью $$50$$ км/ч выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города $$B$$ выехал со скоростью $$70$$ км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии (в км) от города $$A$$ автомобили встретятся?

На области действительных значений $$x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 0) \cup (0; +\infty)$$ упростите выражение: $$(\frac{x + 3}{x^2 - 3x} + \frac{x - 3}{x^2 + 3x}) \cdot \frac{9x - x^3}{x^2 + 9}$$

При каких значениях $$a$$ вершины парабол $$y = x^2 - 4ax + a$$ и $$y = -x^2 + 8ax + 4$$ расположены по одну сторону от оси $$x$$?

В выпуклом четырёхугольнике $$NPQM$$ диагональ $$NQ$$ является биссектрисой угла $$PNM$$ и пересекается с диагональю $$PM$$ в точке $$S$$. Найдите $$NS$$, если известно, что около четырёхугольника $$NPQM$$ можно описать окружность, $$PQ=86$$, $$SQ=43$$.

В окружности через середину $$O$$ хорды $$BD$$ проведена хорда $$AC$$ так, что дуги $$AB$$ и $$CD$$ равны. Докажите, что $$O$$ — середина хорды $$AC$$.

Найдите значение выражения $$6\cdot(\frac{1}{3})^{2}-17\cdot \frac{1}{3}$$