Две окружности с центрами $$O_{1}$$ и $$O_{3}$$ и радиусами $$4,5$$ и $$2,5$$ касаются друг с другом внешним образом и внутренним образом касаются окружности с центром $$O_{2}$$ радиусом $$7,5$$. Найдите угол $$O_{1}O_{2}O_{3}$$.

Три окружности, радиусы которых равны $$2$$, $$3$$ и $$10$$, попарно касаются внешним образом. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры этих трёх окружностей.

Две касающиеся внешним образом в точке $$K$$ окружности, радиусы которых равны $$16$$ и $$48$$, вписаны в угол с вершиной $$A$$. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку $$K$$, пересекает стороны угла в точках $$B$$ и $$C$$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $$ABC$$.

Окружности радиусов $$60$$ и $$90$$ касаются внешним образом. Точки $$A$$ и $$B$$ лежат на первой окружности, точки $$C$$ и $$D$$ — на второй. При этом $$AC$$ и $$BD$$ — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми $$AB$$ и $$CD$$.

Основание $$AC$$ равнобедренного треугольника $$ABC$$ равно $$12$$. Окружность радиуса $$8$$ с центром вне этого треугольника касается продолжений боковых сторон треугольника и касается основания $$AC$$ в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $$ABC$$.

В параллелограмме $$ABCD$$ проведена диагональ $$AC$$. Точка $$O$$ является центром окружности, вписанной в треугольник $$ABC$$. Расстояния от точки $$O$$ до точки $$A$$ и прямых $$AD$$ и $$AC$$ соответственно равны $$5$$, $$4$$ и $$3$$. Найдите площадь параллелограмма $$ABCD$$.

Высоты остроугольного треугольника $$ABC$$, проведённые из точек $$B$$ и $$C$$, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках $$B_{1}$$ и $$C_{1}$$. Оказалось, что отрезок $$B_{1}C_{1}$$ проходит через центр описанной окружности. Найдите угол $$BAC$$.

В выпуклом четырёхугольнике $$NPQM$$ диагональ $$NQ$$ является биссектрисой угла $$PNM$$ и пересекается с диагональю $$PM$$ в точке $$S$$. Найдите $$NS$$, если известно, что около четырёхугольника $$NPQM$$ можно описать окружность, $$PQ=14$$, $$SQ=4$$.

Из вершины прямого угла $$C$$ треугольника $$ABC$$ проведена высота $$CP$$. Радиус окружности, вписанной в треугольник $$BCP$$, равен $$96$$, тангенс угла $$BAC$$ равен $$\frac{8}{15}$$. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $$ABC$$.

На стороне $$AB$$ треугольника $$ABC$$ взята точка $$D$$ так, что окружность, проходящая через точки $$A$$, $$C$$ и $$D$$, касается прямой $$BC$$. Найдите $$AD$$, если $$AC=40$$, $$BC=34$$ и $$CD=20$$.