В треугольнике $$ABC$$ на его медиане $$BM$$ отмечена точка $$K$$ так, что $$BK:KM=4:1$$. Прямая $$AK$$ пересекает сторону $$BC$$ в точке $$P$$. Найдите отношение площади треугольника $$ABK$$ к площади треугольника $$KPCM$$.

В треугольнике $$ABC$$ биссектриса $$BE$$ и медиана $$AD$$ перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную $$96$$. Найдите стороны треугольника $$ABC$$.

Одна из биссектрис треугольника делится точкой пересечения биссектрис в отношении $$40:1$$, считая от вершины. Найдите периметр треугольника, если длина стороны треугольника, к которой эта биссектриса проведена, равна $$30$$.

В треугольнике $$ABC$$ на его медиане $$BM$$ отмечена точка $$K$$ так, что $$BK:KM=3:7$$. Найдите отношение площади треугольника $$ABK$$ к площади треугольника $$ABC$$.

Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно $$28$$.

Боковые стороны $$AB$$ и $$CD$$ трапеции $$ABCD$$ равны соответственно $$20$$ и $$25$$, а основание $$BC$$ равно $$5$$. Биссектриса угла $$ADC$$ проходит через середину стороны $$AB$$. Найдите площадь трапеции.

Основания трапеции относятся как $$1:3$$. Через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. В каком отношении эта прямая делит площадь трапеции?

Углы при одном из оснований трапеции равны $$85^{\circ}$$ и $$5^{\circ}$$, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны $$11$$ и $$1$$. Найдите основания трапеции.

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен $$120$$, а площадь равна $$540$$, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Три окружности с центрами $$O_{1}$$, $$O_{2}$$ и $$O_{3}$$ и радиусами $$2,5$$, $$0,5$$ и $$4,5$$ соответственно попарно касаются внешним образом. Найдите угол $$O_{1}O_{2}O_{3}$$.