Три стороны параллелограмма равны. Докажите, что отрезок с концами в серединах противоположных сторон параллелограмма равен четверти его периметра.

В параллелограмме $$ABCD$$ проведены высоты $$BH$$ и $$BE$$ к сторонам $$AD$$ и $$CD$$ соответственно, при этом $$BH=BE$$. Докажите, что $$ABCD$$ — ромб.

В параллелограмме $$ABCD$$ диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$K$$. Докажите, что площадь параллелограмма $$ABCD$$ в четыре раза больше площади треугольника $$AKD$$.

Внутри параллелограмма $$ABCD$$ выбрали произвольную точку $$E$$. Докажите, что сумма площадей треугольников $$BEC$$ и $$AED$$ равна половине площади параллелограмма.

Основания $$BC$$ и $$AD$$ трапеции $$ABCD$$ равны соответственно $$5$$ и $$20$$, $$BD=10$$. Докажите, что треугольники $$CBD$$ и $$BDA$$ подобны.

В выпуклом четырёхугольнике $$ABCD$$ углы $$BCA$$ и $$BDA$$ равны. Докажите, что углы $$ABD$$ и $$ACD$$ также равны.

Через точку $$O$$ пересечения диагоналей параллелограмма $$ABCD$$ проведена прямая, пересекающая стороны $$AB$$ и $$CD$$ в точках $$P$$ и $$T$$ соответственно. Докажите, что отрезки $$BP=DT$$.

На средней линии трапеции $$ABCD$$ с основаниями $$AD$$ и $$BC$$ выбрали произвольную точку $$E$$. Докажите, что сумма площадей треугольников $$BEC$$ и $$AED$$ равна половине площади трапеции.

Через середину $$K$$ медианы $$BM$$ треугольника $$ABC$$ и вершину $$A$$ проведена прямая, пересекающая сторону $$BC$$ в точке $$P$$. Найдите отношение площади треугольника $$ABK$$ к площади четырёхугольника $$KPCM$$.

Площадь треугольника $$ABC$$ равна $$80$$. Биссектриса $$AD$$ пересекает медиану $$BK$$ в точке $$E$$, при этом $$BD:CD=1:3$$. Найдите площадь четырехугольника $$EDCK$$.