В остроугольном треугольнике $$ABC$$ проведены высоты $$AA_{1}$$ и $$BB_{1}$$ Докажите, что углы $$AA_{1}B_{1}$$ и $$ABB_{1}$$ равны.

Докажите, что медиана треугольника делит его на два треугольника, площади которых равны между собой.

На стороне $$AC$$ треугольника $$ABC$$ выбраны точки $$D$$ и $$E$$ так, что отрезки $$AD$$ и $$CE$$ равны. Оказалось, что углы $$ADB$$ и $$BEC$$ тоже равны. Докажите, что треугольник $$ABC$$ — равнобедренный.

Окружность касается стороны $$AB$$ треугольника $$ABC$$, у которого $$\angle C=90^{\circ}$$, и продолжений его сторон $$AC$$ и $$BC$$ за точки $$A$$ и $$B$$ соответственно. Докажите, что периметр треугольника $$ABC$$ равен диаметру этой окружности.

В треугольнике $$ABC$$ угол $$B$$ равен $$36^{\circ}$$, $$AB=BC$$, $$AD$$ — биссектриса. Докажите, что треугольник $$ABD$$ — равнобедренный.

Докажите, что у равных треугольников $$ABC$$ и $$A_{1}B_{1}C_{1}$$ биссектрисы, проведённые из вершины $$A$$ и $$A_{1}$$, равны.

Два равных прямоугольника имеют общую вершину $$O$$ (см. рис.). Докажите, что площади треугольников $$AOK$$ и $$COM$$ равны.

Два равносторонних треугольника имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки $$AB$$ и $$CD$$ равны.

Докажите, что биссектрисы углов при основании равнобедренного треугольника равны.

На медиане $$KF$$ треугольника $$MPK$$ отмечена точка $$E$$. Докажите, что если $$EM=EP$$, то $$KM=KP$$ .