Длина катета $$AC$$ прямоугольного треугольника $$ABC$$ равна $$8$$ см. Окружность с диаметром $$AC$$ пересекает гипотенузу $$AB$$ в точке $$M$$. Найдите площадь треугольника $$ABC$$, если известно, что $$AM:MB=16:9$$.

Медиана $$BM$$ треугольника $$ABC$$ является диаметром окружности, пересекающей сторону $$BC$$ в её середине. Длина стороны $$AC$$ равна $$4$$. Найдите радиус описанной окружности треугольника $$ABC$$.

Четырёхугольник $$ABCD$$ со сторонами $$AB=25$$ и $$CD=16$$ вписан в окружность. Диагонали $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$K$$, причём $$\angle AKB=60^{\circ}$$. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Биссектриса $$CM$$ треугольника $$ABC$$ делит сторону $$AB$$ на отрезки $$AM=17$$ и $$MB=19$$. Касательная к окружности, описанной около треугольника $$ABC$$, проходит через точку $$C$$ и пересекает прямую $$AB$$ в точке $$D$$. Найдите $$CD$$.

В треугольнике $$ABC$$ известны длины сторон $$AB=84$$, $$AC=98$$, точка $$O$$ - центр окружности, описанной около треугольника $$ABC$$. Прямая $$BD$$, перпендикулярная прямой $$AO$$, пересекает сторону $$AC$$ в точке $$D$$. Найдите $$CD$$.

Окружность проходит через вершины $$A$$ и $$C$$ треугольника $$ABC$$ и пересекает его стороны $$AB$$ и $$AC$$ в точках $$K$$ и $$E$$ соответственно. Отрезки $$AE$$ и $$CK$$ перпендикулярны. Найдите $$\angle ABC$$, если $$\angle KBC =20^{\circ}$$.

На стороне $$BC$$ остроугольного треугольника $$ABC$$ ($$AB\neq AC$$) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту $$AD$$ в точке $$M$$, $$AD=27$$, $$MD=18$$, $$H$$ - точка пересечения высот треугольника $$ABC$$. Найдите $$AH$$.

В трапеции $$ABCD$$ основания $$AD$$ и $$BC$$ равны соответственно $$49$$ и $$21$$, а сумма углов при основании $$AD$$ равна $$90^{\circ}$$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $$A$$ и $$B$$ и касающейся прямой $$CD$$, если $$AB=20$$.

В трапеции $$ABCD$$ боковая сторона $$AB$$ перпендикулярна основанию $$BC$$. Окружность проходит через точки $$C$$ и $$D$$ и касается прямой $$AB$$ в точке $$E$$. Найдите расстояние от точки $$E$$ до прямой $$CD$$, если $$AD=8$$, $$BC=4$$.

В треугольнике $$ABC$$ биссектриса угла $$A$$ делит высоту, проведённую из вершины $$B$$, в отношении $$17:15$$, считая от точки $$B$$. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника $$ABC$$, если $$BC=16$$.