Планиметрия: задачи, связанные с углами
Задание 5835
Угол между биссектрисой и медианой прямоугольного треугольника, проведёнными из вершины прямого угла, равен $$14^\circ$$. Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.
Пусть медиана $$CH$$ и биссектриса $$CM$$ проведены из вершины прямого угла $$C$$ треугольника $$ABC$$.
1. Пусть $$A$$ — один из острых углов. Тогда $$\angle B = 90^\circ - A.$$
2. Из геометрических свойств: $$\angle HCA = A,$$ а $$\angle ACM = 45^\circ.$$
3. Угол между медианой и биссектрисой: $$A - 45^\circ = 14^\circ.$$ Тогда $$A = 59^\circ.$$
Меньший угол: $$\angle B = 90^\circ - 59^\circ = 31^\circ.$$
Задание 5999
Угол при вершине, противолежащей основанию равнобедренного треугольника, равен $$30^{\circ}$$. Боковая сторона треугольника равна $$18$$. Найдите площадь этого треугольника.
1. Рассмотрим равнобедренный треугольник $$ABC$$, где:
$$AB = BC = 18$$ (боковые стороны)
$$\angle B = 30^{\circ}$$ (угол при вершине)
2. Проведём высоту $$AH$$ к стороне $$BC$$. В прямоугольном треугольнике $$ABH$$:
$$AB = 18$$ (гипотенуза)
$$\angle B = 30^{\circ}$$
$$AH$$ — катет, лежащий против угла $$30^{\circ}$$
3. По свойству прямоугольного треугольника:
$$AH = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9$$
4. Найдём площадь:
$$S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 9 = 81$$