Задание 852
Задание 852
Дан правильный шестиугольник $$ABCDEF$$ и равные друг другу шесть правильных треугольников $$GID$$, $$JIG$$, $$HIJ$$, $$HGL$$, $$MHL$$, $$AHM$$ (см. рисунок). Найдите сумму площадей этих шести треугольников, если известно, что площадь шестиугольника $$ABCDEF$$ равна $$90$$.
Пусть $$O$$ - центр $$GH.$$ Тогда $$OH$$ - сторона шестиугольника. Он состоит из 6 равносторонних треугольников со стороной равной $$GH.$$ Пусть $$GH=a.$$
Тогда $$S_{ABCDEF}=6\cdot\frac{1}{2}\cdot a\cdot a\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}=90\Rightarrow a^2\sqrt{3}=60.$$
При этом $$DG=\frac{DA}{3}=\frac{a\cdot2}{3}.$$
$$D_{DGI}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2a}{3}\cdot\frac{2a}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{3}}{9}.$$
Тогда 6 таких треугольников $$6\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{9}=\frac{2a^2\sqrt{3}}{3}=\frac{2\cdot60}{3}=40.$$