Решите систему уравнений: $$ \left\{ \begin{aligned} x^2 + y^2 = 25 \\ xy = 12 \end{aligned} \right. $$

Первый рабочий за час делает на $$9$$ деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из $$112$$ деталей, на $$4$$ часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Постройте график функции $$y = \frac{5x - 8}{5x^2 - 8x}$$. Определите, при каких значениях $$k$$ прямая $$y = kx$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Отрезки $$AB$$ и $$DC$$ лежат на параллельных прямых, а отрезки $$AC$$ и $$BD$$ пересекаются в точке $$M$$. Найдите $$MC$$, если $$AB=14$$, $$DC=56$$, $$AC=40$$.

В остроугольном треугольнике $$ABC$$ проведены высоты $$AA_{1}$$ и $$CC_{1}$$ Докажите, что углы $$CC_{1}A_{1}$$ и $$CAA_{1}$$ равны.

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен $$160$$, а площадь равна $$1280$$, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается вдвое каждые $$6$$ минут. В начальный момент масса изотопа составляла $$640$$ мг. Найдите массу изотопа через $$42$$ минуты. Ответ дайте в миллиграммах.

В треугольнике $$ABC$$ угол $$C = 90^\circ$$, $$M$$ — середина стороны $$AB$$, $$AB = 64$$, $$BC = 44$$. Найдите $$CM$$.

На клетчатой бумаге с размером клетки $$1 \times 1$$ изображен треугольник. Найдите его площадь.

Постройте график функции $$y = \frac{7x - 6}{7x^2 - 6x}$$. Определите, при каких значениях $$k$$ прямая $$y = kx$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.