Точка $$E$$ - середина боковой стороны $$AB$$ трапеции $$ABCD$$. Докажите, что сумма площадей треугольников $$BCE$$ и $$ADE$$ равна половине площади трапеции.

В лыжных гонках участвуют $$11$$ спортсменов из России, $$6$$ — из Норвегии и $$3$$ — из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.

В амфитеатре $$20$$ рядов. В первом ряду $$56$$ мест, а в каждом следующем — на $$2$$ места меньше, чем в предыдущем. Сколько всего мест в амфитеатре?

Угол $$A$$ четырёхугольника $$ABCD$$, вписанного в окружность, равен $$33^\circ$$. Найдите угол $$C$$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

В треугольнике $$ABC$$ с тупым углом $$ABC$$ проведены высоты $$AA_{1}$$ и $$CC_{1}$$. Докажите, что треугольники $$A_{1}BC_{1}$$ и $$ABC$$ подобны.

Угол $$A$$ четырёхугольника $$ABCD$$, вписанного в окружность, равен $$62^\circ$$. Найдите угол $$C$$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

Постройте график функции $$y = \frac{(x - 1)(x^2 - 4)}{x - 2}$$ и определите, при каких значениях $$m$$ прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно одну общую точку.

Окружность пересекает стороны $$AB$$ и $$AC$$ треугольника $$ABC$$ в точках $$K$$ и $$P$$ соответственно и проходит через вершины $$B$$ и $$C$$. Найдите длину отрезка $$KP$$, если $$AK=7$$, а сторона $$AC$$ в $$1,4$$ раза больше стороны $$BC$$.

Укажите неравенство, решение которого изображено на рисунке:
1) $$x^2 + 64 \ge 0$$
2) $$x^2 - 64 \le 0$$
3) $$x^2 - 64 \ge 0$$
4) $$x^2 + 64 \le 0$$

Сторона $$AB$$ параллелограмма $$ABCD$$ вдвое больше сторонь $$AD$$. Точка $$K$$ - середина стороны $$AB$$. Докажите, что $$DK$$ - биссектриса угла $$ADC$$.