В остроугольном треугольнике $$ABC$$ проведены высоты $$AA_{1}$$ и $$BB_{1}$$. Докажите, что углы $$BB_{1}A_{1}$$ и $$BAA_{1}$$ равны.

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен $$20$$, а площадь равна $$20$$, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

Укажите неравенство, которое не имеет решений:
1) $$x^2 + 6x - 51 > 0$$
2) $$x^2 + 6x - 51 0$$
3) $$x^2 + 6x + 51 > 0$$
4) $$x^2 + 6x - 51 0$$

Какие из следующих утверждений верны?

1. Длина гипотенузы прямоугольного треугольника меньше суммы длин его катетов.
2. В тупоугольном треугольнике все углы тупые.
3. Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований.

В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Расстояние между пристанями $$A$$ и $$B$$ равно $$45$$ км. Из $$A$$ в $$B$$ по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась моторная лодка, которая, прибыв в пункт $$B$$, тотчас повернула обратно и возвратилась в $$A$$. К этому времени плот проплыл $$28$$ км. Найдите скорость моторной лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна $$4$$ км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Точка $$H$$ является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла $$B$$ треугольника $$ABC$$ к гипотенузе $$AC$$. Найдите $$AB$$, если $$AH=4$$, $$AC=16$$.

В среднем из каждых $$50$$ поступивших в продажу аккумуляторов $$47$$ аккумуляторов заряжены. Найдите вероятность того, что выбранный в магазине наудачу аккумулятор не заряжен.

Укажите неравенство, которое не имеет решений:
1) $$x^2 + 6x + 12 > 0$$
2) $$x^2 + 6x + 12 0$$
3) $$x^2 + 6x - 12 0$$
4) $$x^2 + 6x - 12 > 0$$

В треугольнике $$ABC$$ известно, что $$AB = 6$$, $$BC = 8$$, $$AC = 4$$. Найдите $$\cos \angle ABC$$.

Решите систему уравнений: $$ \left\{ \begin{aligned} (x - 4)(y - 7) = 0\\ \frac{y - 5}{x + y - 9} = 2 \end{aligned} \right. $$